ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\cos^2 3t = \dfrac{1 + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} — 6t\right)}{2};$$

б)

$$\dfrac{1 — \cos t}{1 + \cos t} = \tg^2 \dfrac{t}{2};$$

в)

$$\cos^2 3t = \dfrac{1 — \cos(6t — 3\pi)}{2};$$

г)

$$\frac{1-\cos t}{\sin t}=\mathrm{tg}\frac{t}{2}$$

Доказать тождество:

а)

$$\cos^2 3t = \dfrac{1 + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} — 6t\right)}{2};$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$\dfrac{1 + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} — 6t\right)}{2} = \dfrac{1 + \cos 6t}{2} = \dfrac{1 + \cos(2 \cdot 3t)}{2} = \cos^2 3t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\dfrac{1 — \cos t}{1 + \cos t} = \tg^2 \dfrac{t}{2};$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\dfrac{1 — \cos t}{1 + \cos t} = \dfrac{\left(\sin^2 \dfrac{t}{2} + \cos^2 \dfrac{t}{2}\right) — \left(\cos^2 \dfrac{t}{2} — \sin^2 \dfrac{t}{2}\right)}{\left(\sin^2 \dfrac{t}{2} + \cos^2 \dfrac{t}{2}\right) + \left(\cos^2 \dfrac{t}{2} — \sin^2 \dfrac{t}{2}\right)} = \dfrac{2 \sin^2 \dfrac{t}{2}}{2 \cos^2 \dfrac{t}{2}} = \tg^2 \dfrac{t}{2};$$

Тождество доказано.

в)

$$\cos^2 3t = \dfrac{1 — \cos(6t — 3\pi)}{2};$$

Преобразуем правую часть равенства:

$$\dfrac{1 — \cos(6t — 3\pi)}{2} = \dfrac{1 — \cos(\pi — 6t)}{2} = \dfrac{1 + \cos 6t}{2} = \cos^2 \dfrac{6t}{2} = \cos^2 3t;$$

Тождество доказано.

г)

$$\dfrac{1 — \cos t}{\sin t} = \tg \dfrac{t}{2};$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\dfrac{1 — \cos t}{\sin t} = \dfrac{\left(\cos^2 \dfrac{t}{2} + \sin^2 \dfrac{t}{2}\right) — \left(\cos^2 \dfrac{t}{2} — \sin^2 \dfrac{t}{2}\right)}{\sin t} = \dfrac{2 \sin^2 \dfrac{t}{2}}{2 \sin \dfrac{t}{2} \cdot \cos \dfrac{t}{2}} = \tg \dfrac{t}{2}$$

Тождество доказано.

а)

$$\cos^2 3t = \dfrac{1 + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} — 6t\right)}{2}$$

Шаг 1. Преобразуем тригонометрическую функцию в числителе

$$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} — 6t\right) = \cos 6t \quad \text{(по формуле приведения)}$$

Шаг 2. Подставим обратно

$$\dfrac{1 + \cos 6t}{2}$$

Шаг 3. Используем формулу понижения степени

$$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$$

Положим $x = 3t$, тогда:

$$\cos^2 3t = \dfrac{1 + \cos 6t}{2}$$

Тождество доказано:

$$\boxed{\cos^2 3t = \dfrac{1 + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} — 6t\right)}{2}}$$

б)

$$\dfrac{1 — \cos t}{1 + \cos t} = \tg^2 \dfrac{t}{2}$$

Шаг 1. Вспомним формулы понижения степени

• $\cos t = \cos^2 \dfrac{t}{2} — \sin^2 \dfrac{t}{2}$
• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Шаг 2. Распишем числитель и знаменатель

Числитель:

$$1 — \cos t = 1 — (\cos^2 \dfrac{t}{2} — \sin^2 \dfrac{t}{2}) = (\sin^2 \dfrac{t}{2} + \cos^2 \dfrac{t}{2}) — (\cos^2 \dfrac{t}{2} — \sin^2 \dfrac{t}{2}) = 2 \sin^2 \dfrac{t}{2}$$

Знаменатель:

$$1 + \cos t = (\sin^2 \dfrac{t}{2} + \cos^2 \dfrac{t}{2}) + (\cos^2 \dfrac{t}{2} — \sin^2 \dfrac{t}{2}) = 2 \cos^2 \dfrac{t}{2}$$

Шаг 3. Собираем дробь

$$\dfrac{2 \sin^2 \dfrac{t}{2}}{2 \cos^2 \dfrac{t}{2}} = \dfrac{\sin^2 \dfrac{t}{2}}{\cos^2 \dfrac{t}{2}} = \tg^2 \dfrac{t}{2}$$

Тождество доказано:

$$\boxed{\dfrac{1 — \cos t}{1 + \cos t} = \tg^2 \dfrac{t}{2}}$$

в)

$$\cos^2 3t = \dfrac{1 — \cos(6t — 3\pi)}{2}$$

Шаг 1. Используем формулу: $\cos(\pi — x) = -\cos x$

$$\cos(6t — 3\pi) = \cos(\pi — 6t) = -\cos 6t$$

Шаг 2. Подставим в выражение

$$\dfrac{1 — (-\cos 6t)}{2} = \dfrac{1 + \cos 6t}{2}$$

Шаг 3. Применяем формулу понижения степени

$$\cos^2 3t = \dfrac{1 + \cos 6t}{2}$$

Тождество доказано:

$$\boxed{\cos^2 3t = \dfrac{1 — \cos(6t — 3\pi)}{2}}$$

г)

$$\dfrac{1 — \cos t}{\sin t} = \tg \dfrac{t}{2}$$

Шаг 1. Вспомним формулы

• $1 — \cos t = 2 \sin^2 \dfrac{t}{2}$
• $\sin t = 2 \sin \dfrac{t}{2} \cos \dfrac{t}{2}$
• $\tg \dfrac{t}{2} = \dfrac{\sin \dfrac{t}{2}}{\cos \dfrac{t}{2}}$

Шаг 2. Подставим в дробь

$$\dfrac{1 — \cos t}{\sin t} = \dfrac{2 \sin^2 \dfrac{t}{2}}{2 \sin \dfrac{t}{2} \cos \dfrac{t}{2}} = \dfrac{\sin \dfrac{t}{2}}{\cos \dfrac{t}{2}} = \tg \dfrac{t}{2}$$

Тождество доказано:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1-\cos t}{\sin t}=\mathrm{tg}\frac{t}{2}}}$$