ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$1 + \sin a = 2 \cos^2\left(45^\circ — \frac{a}{2}\right);$$ $$\mathrm{}$$б)

$$2 \sin^2(45^\circ — a) + \sin 2a = 1;$$ $$\mathrm{}$$в)

$$1 — \sin a = 2 \sin^2\left(45^\circ — \frac{a}{2}\right);$$ $$\mathrm{}$$г)

$$2{\cos }^2({45}^{\circ }+a)+\sin 2a=1$$

Доказать тождество:

а)

$$1 + \sin a = 2 \cos^2\left(45^\circ — \frac{a}{2}\right);$$ $$1 + \sin a = 2 \cdot \frac{1 + \cos\left(2 \cdot 45^\circ — \frac{2a}{2}\right)}{2};$$ $$1 + \sin a = 1 + \cos(90^\circ — a);$$ $$1 + \sin a = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right);$$ $$1 + \sin a = 1 + \sin a;$$

Тождество доказано.

б)

$$2 \sin^2(45^\circ — a) + \sin 2a = 1;$$ $$2 \cdot \frac{1 — \cos(2 \cdot 45^\circ — 2a)}{2} + \sin 2a = 1;$$ $$(1 — \cos(90^\circ — 2a)) + \sin 2a = 1;$$ $$1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2a\right) + \sin 2a = 1;$$ $$1 — \sin 2a + \sin 2a = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

в)

$$1 — \sin a = 2 \sin^2\left(45^\circ — \frac{a}{2}\right);$$ $$1 — \sin a = 2 \cdot \frac{1 — \cos\left(2 \cdot 45^\circ — \frac{2a}{2}\right)}{2};$$ $$1 — \sin a = 1 — \cos(90^\circ — a);$$ $$1 — \sin a = 1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — a\right);$$ $$1 — \sin a = 1 — \sin a;$$

Тождество доказано.

г)

$$2 \cos^2(45^\circ + a) + \sin 2a = 1;$$ $$2 \cdot \frac{1 + \cos(2 \cdot 45^\circ + 2a)}{2} + \sin 2a = 1;$$ $$(1 + \cos(90^\circ + 2a)) + \sin 2a = 1;$$ $$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2a\right) + \sin 2a = 1;$$ $$1 — \sin 2a + \sin 2a = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

а)

$$1 + \sin a = 2 \cos^2\left(45^\circ — \frac{a}{2}\right)$$

Шаг 1. Используем формулу двойного угла:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

Подставим:

$$2 \cos^2\left(45^\circ — \frac{a}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1 + \cos\left(2 \cdot \left(45^\circ — \frac{a}{2} \right)\right)}{2}$$

Шаг 2. Упростим аргумент:

$$2 \left(45^\circ — \frac{a}{2}\right) = 90^\circ — a$$

Шаг 3. Подставим обратно:

$$2 \cos^2\left(45^\circ — \frac{a}{2}\right) = 1 + \cos(90^\circ — a)$$

Шаг 4. Преобразуем косинус:

$$\cos(90^\circ — a) = \sin a$$

Результат:

$$1 + \sin a = 1 + \sin a \quad \Rightarrow \quad \boxed{\text{Тождество доказано}}$$

б)

$$2 \sin^2(45^\circ — a) + \sin 2a = 1$$

Шаг 1. Используем формулу понижения степени:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos(2x)}{2}$$

Шаг 2. Подставим:

$$2 \cdot \sin^2(45^\circ — a) = 2 \cdot \frac{1 — \cos(2 \cdot (45^\circ — a))}{2} = 1 — \cos(90^\circ — 2a)$$

Шаг 3. Преобразуем косинус:

$$\cos(90^\circ — 2a) = \sin 2a$$

Шаг 4. Подставим в выражение:

$$1 — \sin 2a + \sin 2a = 1$$

Результат:

$$\boxed{1 = 1 \quad \Rightarrow \text{Тождество доказано}}$$

в)

$$1 — \sin a = 2 \sin^2\left(45^\circ — \frac{a}{2}\right)$$

Шаг 1. Используем формулу:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos(2x)}{2}$$

Шаг 2. Подставим:

$$2 \sin^2\left(45^\circ — \frac{a}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1 — \cos\left(2 \cdot \left(45^\circ — \frac{a}{2}\right)\right)}{2} = 1 — \cos(90^\circ — a)$$

Шаг 3. Преобразуем косинус:

$$\cos(90^\circ — a) = \sin a$$

Шаг 4. Получаем:

$$1 — \sin a = 1 — \sin a$$

Результат:

$$\boxed{\text{Тождество доказано}}$$

г)

$$2 \cos^2(45^\circ + a) + \sin 2a = 1$$

Шаг 1. Используем формулу:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

Шаг 2. Подставим:

$$2 \cos^2(45^\circ + a) = 2 \cdot \frac{1 + \cos(2 \cdot (45^\circ + a))}{2} = 1 + \cos(90^\circ + 2a)$$

Шаг 3. Преобразуем:

$$\cos(90^\circ + 2a) = -\sin 2a$$

Шаг 4. Подставим:

$$1 + (-\sin 2a) + \sin 2a = 1$$

Результат:

$$\boxed{{\displaystyle 1=1\Rightarrow \text{Тождество доказано}}}$$