ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите (с помощью формул понижения степени):

а)

$$\sin {\mathrm{22,5}}^{\circ }$$

б)

$$\cos {\mathrm{22,5}}^{\circ }$$

в)

$$\sin \frac{3\pi }{8}$$

г)

$$\cos \frac{3\pi }{8}$$

Вычислить с помощью формул понижения степени:
Все данные углы принадлежат отрезку $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$;

а)

$$\sin 22{,}5^\circ = \sqrt{\sin^2 \frac{45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}$.

б)

$$\cos 22{,}5^\circ = \sqrt{\cos^2 \frac{45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.

в)

$$\sin \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\sin^2 \frac{3\pi}{4}} = \sqrt{\frac{1 — \cos \frac{3\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.

г)

$$\cos \frac{3\pi}{8} = \sqrt{\cos^2 \frac{3\pi}{4}} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{3\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 — \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}$.

Вычислить с помощью формул понижения степени:
Все данные углы принадлежат отрезку $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$

а) $\sin 22{,}5^\circ$

Шаг 1: Представим угол как половину известного

$$22{,}5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$$

Шаг 2: Вспомним формулу понижения степени

$$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 — \cos \alpha}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 — \cos \alpha}{2}} \quad (\text{для } \alpha \in [0, \pi])$$

Применим:

$$\sin 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 — \cos 45^\circ}{2}}$$

Шаг 3: Подставим точное значение $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\sin 22{,}5^\circ = \sqrt{\frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$$

Шаг 4: Приведём к общему знаменателю

$$1 = \frac{2}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{2 — \sqrt{2}}{2}$$ $$\sin 22{,}5^\circ = \sqrt{ \frac{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}}{2} } = \sqrt{ \frac{2 — \sqrt{2}}{4} }$$

Шаг 5: Извлекаем корень

$$\sin 22{,}5^\circ = \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2}$$

Ответ: $\boxed{ \frac{\sqrt{2 — \sqrt{2}}}{2} }$

б) $\cos 22{,}5^\circ$

Шаг 1: Представим как половину

$$\cos 22{,}5^\circ = \cos \frac{45^\circ}{2}$$

Шаг 2: Формула понижения степени

$$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \quad \Rightarrow \quad \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 + \cos \alpha}{2} }$$

Применим:

$$\cos 22{,}5^\circ = \sqrt{ \frac{1 + \cos 45^\circ}{2} }$$

Шаг 3: Подставим $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\cos 22{,}5^\circ = \sqrt{ \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} }$$

Шаг 4: Сложим в числителе

$$1 = \frac{2}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$$ $$\cos 22{,}5^\circ = \sqrt{ \frac{ \frac{2 + \sqrt{2}}{2} }{2} } = \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{2}}{4} }$$

Шаг 5: Извлекаем корень

$$\cos 22{,}5^\circ = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{2}$$

Ответ: $\boxed{ \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2} } }{2} }$

в) $\sin \frac{3\pi}{8}$

Шаг 1: Преобразуем угол

$$\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi}{4 \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{4}$$

Значит:

$$\sin \frac{3\pi}{8} = \sin \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{4}$$

Шаг 2: Формула понижения степени:

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 — \cos \alpha}{2} } \quad \text{(при } \alpha \in [0, \pi])$$

Применим:

$$\sin \frac{3\pi}{8} = \sqrt{ \frac{1 — \cos \frac{3\pi}{4} }{2} }$$

Шаг 3: Подставим значение

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin \frac{3\pi}{8} = \sqrt{ \frac{1 — (-\frac{\sqrt{2}}{2}) }{2} } = \sqrt{ \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} }$$

Шаг 4: Приведём к общему знаменателю

$$1 = \frac{2}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$$ $$\sin \frac{3\pi}{8} = \sqrt{ \frac{ \frac{2 + \sqrt{2}}{2} }{2} } = \sqrt{ \frac{2 + \sqrt{2}}{4} }$$

Шаг 5: Извлекаем корень

$$\sin \frac{3\pi}{8} = \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{2}$$

Ответ: $\boxed{ \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{2} }$

г) $\cos \frac{3\pi}{8}$

Шаг 1: Представим как половину

$$\frac{3\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \cos \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{4}$$

Шаг 2: Формула понижения степени:

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{ \frac{1 + \cos \alpha }{2} } \quad \text{(при } \alpha \in [0, \pi])$$

Применим:

$$\cos \frac{3\pi}{8} = \sqrt{ \frac{1 + \cos \frac{3\pi}{4} }{2} }$$

Шаг 3: Подставим значение

$$\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos \frac{3\pi}{8} = \sqrt{ \frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) }{2} } = \sqrt{ \frac{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} }$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю

$$1 = \frac{2}{2} \Rightarrow \frac{2 — \sqrt{2}}{2}$$ $$\cos \frac{3\pi}{8} = \sqrt{ \frac{ \frac{2 — \sqrt{2}}{2} }{2} } = \sqrt{ \frac{2 — \sqrt{2}}{4} }$$

Шаг 5: Извлекаем корень

$$\cos \frac{3\pi}{8} = \frac{ \sqrt{2 — \sqrt{2}} }{2}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}}$