ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin x\cdot \cos x=\frac{1}{4};$$

б)

$$\sin 4x\cdot \cos 4x=\frac{1}{2};$$

в)

$${\cos }^2\frac{x}{3}-{\sin }^2\frac{x}{3}=\frac{1}{2};$$

г)

$${\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$$

Решить уравнение:

а)

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{4};$$ $$\sin 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$(-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$$

б)

$$\sin 4x \cdot \cos 4x = \frac{1}{2};$$ $$\frac{1}{2} \sin 8x = \frac{1}{2};$$ $$\sin 8x = 1;$$ $$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4};$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}.$$

в)

$$\cos^2 \frac{x}{3} — \sin^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{2};$$ $$\cos \frac{2x}{3} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{2x}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{3}{2} \cdot \left(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n;$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n.$$

г)

$$\sin^2 x — \cos^2 x = \frac{1}{2};$$ $$\cos^2 x — \sin^2 x = -\frac{1}{2};$$ $$\cos 2x = -\frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi }{3}+\pi n\mathrm{.}$$

а) $\sin x \cdot \cos x = \dfrac{1}{4}$

Шаг 1: Применим формулу произведения

$$\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$\frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{4}$$

Шаг 3: Умножим обе части на 2

$$\sin 2x = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Общее решение уравнения $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$$\theta = (-1)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n \Rightarrow 2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Шаг 5: Разделим обе части на 2

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}}$$

б) $\sin 4x \cdot \cos 4x = \dfrac{1}{2}$

Шаг 1: Применим формулу

$$\sin A \cdot \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A \Rightarrow \sin 4x \cdot \cos 4x = \frac{1}{2} \sin 8x$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$\frac{1}{2} \sin 8x = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Умножим обе части на 2

$$\sin 8x = 1$$

Шаг 4: Общее решение $\sin \theta = 1$

$$\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow 8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 5: Разделим обе части на 8

$$x = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}}$$

в) $\cos^2 \frac{x}{3} — \sin^2 \frac{x}{3} = \dfrac{1}{2}$

Шаг 1: Применим формулу разности квадратов синуса и косинуса

$$\cos^2 A — \sin^2 A = \cos 2A$$

Применим:

$$\cos \frac{2x}{3} = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Общее решение уравнения $\cos \theta = \frac{1}{2}$

$$\theta = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$ $$\frac{2x}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 3: Умножим обе части на $\frac{3}{2}$

$$x = \frac{3}{2} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{\pi}{2} + 3\pi n}$$

г) $\sin^2 x — \cos^2 x = \dfrac{1}{2}$

Шаг 1: Перепишем как $-(\cos^2 x — \sin^2 x)$

$$\sin^2 x — \cos^2 x = -(\cos^2 x — \sin^2 x)$$ $$\cos^2 x — \sin^2 x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 2: Используем формулу

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Общее решение $\cos \theta = -\frac{1}{2}$

$$\theta = \pm (\pi — \arccos \frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$ $$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 4: Разделим обе части на 2

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \pm \frac{\pi }{3}+\pi n}}$$