ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $1 — \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$;

б) $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$

Решить уравнение:

а) $1 — \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$;
$2 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$;
$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$;
$\sin^2 \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} = 0$;
$\sin \frac{x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$;

Первое уравнение:
$\sin \frac{x}{2} = 0$;
$\frac{x}{2} = \pi n$;
$x = 2\pi n$;

Второе уравнение:
$\sin \frac{x}{2} — 1 = 0$;
$\sin \frac{x}{2} = 1$;
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$x = \pi + 4\pi n$;

Ответ: $2\pi n; \pi + 4\pi n$.

б) $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$;
$2 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$;
$2 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$;
$\cos^2 \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{2} = 0$;
$\cos \frac{x}{2} \cdot \left( \cos \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos \frac{x}{2} = 0$;
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \pi + 2\pi n$;

Второе уравнение:
$\cos \frac{x}{2} — 1 = 0$;
$\cos \frac{x}{2} = 1$;
$\frac{x}{2} = 2\pi n$;
$x = 4\pi n$;

Ответ: $\pi + 2\pi n; 4\pi n$.

а)

Уравнение:

$$1 — \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения.

Из тригонометрии известно, что:

$$1 — \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

То есть, левая часть уравнения уже равна правой части. Запишем это:

$$1 — \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

Упростим левую часть:

$$2 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} = 1 — \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

Следовательно:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

Это тождество — верно при любых $x$. Но чтобы найти конкретные решения, продолжаем анализ.

Шаг 2: Преобразуем уравнение для нахождения значений $x$

Выпишем:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

Упрощаем:

$$\sin^2 \frac{x}{2} — \sin \frac{x}{2} = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\sin \frac{x}{2}$. Вынесем $\sin \frac{x}{2}$ за скобки:

$$\sin \frac{x}{2} \cdot \left( \sin \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$$

Теперь воспользуемся нулевым произведением:

$$ab = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ или } b = 0$$

Рассмотрим каждое из решений:

1) $\sin \frac{x}{2} = 0$

Формула:

$$\sin \theta = 0 \Leftrightarrow \theta = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Применим:

$$\frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$$

2) $\sin \frac{x}{2} — 1 = 0 \Rightarrow \sin \frac{x}{2} = 1$

Формула:

$$\sin \theta = 1 \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Применим:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 4\pi n$$

Ответ к пункту а):

$$x = 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \pi + 4\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

Уравнение:

$$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения.

Из формулы двойного угла:

$$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Следовательно:

$$2 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Упростим:

$$1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$

И снова:

$$2 \cos^2 \frac{x}{2} = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Тождество — верно при любом $x$, но для решения находим конкретные значения.

Шаг 2: Преобразуем уравнение.

Запишем:

$$\cos^2 \frac{x}{2} — \cos \frac{x}{2} = 0$$

Вынесем $\cos \frac{x}{2}$ за скобки:

$$\cos \frac{x}{2} \cdot \left( \cos \frac{x}{2} — 1 \right) = 0$$

Рассмотрим каждое из решений:

1) $\cos \frac{x}{2} = 0$

Формула:

$$\cos \theta = 0 \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Применим:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$$

2) $\cos \frac{x}{2} — 1 = 0 \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = 1$

Формула:

$$\cos \theta = 1 \Leftrightarrow \theta = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Применим:

$$\frac{x}{2} = 2\pi n \Rightarrow x = 4\pi n$$

Ответ к пункту б):

$$x = \pi + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = 4\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Итоговый ответ:

а)

$$\boxed{x = 2\pi n;\quad x = \pi + 4\pi n}$$

б)

$$\boxed{x = \pi + 2\pi n;\quad x = 4\pi n}$$