ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $1 — \cos x = \sin x \cdot \sin \frac{x}{2}$;

б) $\sin x = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} \cdot (1 + \cos x)$

Решить уравнение:

а) $1 — \cos x = \sin x \cdot \sin \frac{x}{2}$;

$2 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} = 2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}$;

$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$;

$\sin^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0$;

$\sin^2 \frac{x}{2} \cdot \left(1 — \cos \frac{x}{2}\right) = 0$;

Первое уравнение:
$\sin \frac{x}{2} = 0$;
$\frac{x}{2} = \pi n$;
$x = 2\pi n$;

Второе уравнение:
$1 — \cos \frac{x}{2} = 0$;
$\cos \frac{x}{2} = 1$;
$\frac{x}{2} = 2\pi n$;
$x = 4\pi n$;

Ответ: $2\pi n$.

б) $\sin x = \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} \cdot (1 + \cos x)$;

$\sin x = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} \cdot (1 + \cos x)$;

$\sin x = 1 — \cos x$;

$\sin x + \cos x = 1 \quad | : \sqrt{2}$;

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos \left(x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

$x_1 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n$;
$x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Область определения:
$1 + \cos x \ne 0$;
$\cos x \ne -1$;
$x \ne \pi + 2\pi n$;

Ответ: $2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

а) $1 — \cos x = \sin x \cdot \sin \frac{x}{2}$

Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения

Формула:

$$1 — \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$$

Подставим в уравнение:

$$2 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} = 2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}$$

Правая часть преобразована по формуле:

$$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$$

Значит:

$$\sin x \cdot \sin \frac{x}{2} = \left(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \right) \cdot \sin \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$$

Теперь получаем уравнение:

$$2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 2: Упростим уравнение

Всё делим на 2:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Переносим всё в левую часть:

$$\sin^2 \frac{x}{2} — \sin^2 \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0$$

Вынесем $\sin^2 \frac{x}{2}$ за скобки:

$$\sin^2 \frac{x}{2} \cdot \left(1 — \cos \frac{x}{2}\right) = 0$$

Шаг 3: Решим полученное уравнение

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

Первый случай:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \sin \frac{x}{2} = 0$$ $$\frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Второй случай:

$$1 — \cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = 1$$ $$\frac{x}{2} = 2\pi n \Rightarrow x = 4\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Но! Решения $x = 4\pi n$ уже входят в $x = 2\pi n$, так как:

$$x = 4\pi n = 2\pi (2n)$$

Ответ к пункту а):

$$\boxed{x = 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б) $\sin x = \tan^2 \frac{x}{2} \cdot (1 + \cos x)$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

Используем формулу:

$$\tan \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} } \Rightarrow \tan^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}$$

Подставим:

$$\sin x = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} \cdot (1 + \cos x)$$

Сокращаем:

$$\sin x = 1 — \cos x$$

Шаг 2: Решим уравнение $\sin x = 1 — \cos x$

Переносим всё в одну сторону:

$$\sin x + \cos x = 1$$

Приведём левую часть к одной функции:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Почему? Потому что:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4}$$

Теперь применим формулу:

$$a \sin x + b \cos x = R \cos(x — \phi)$$

Здесь:

$$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \cos \left(x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Найдём $x$

$$\cos \left(x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x — \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Решения:

Первое:

$$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Второе:

$$x_2 = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n$$

Шаг 4: Область определения (ОДЗ)

ОДЗ задаётся исходным уравнением:

$$\tan^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}$$

Выражение определено, если:

$$1 + \cos x \ne 0 \Rightarrow \cos x \ne -1$$ $$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$$

Итак:

$$x \ne \pi + 2\pi n$$

Наши найденные решения:

• $x = 2\pi n$
• $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Эти значения не входят в запретное множество $x \ne \pi + 2\pi n$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{x = 2\pi n;\quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$

Итоговые ответы:

а)

$$\boxed{x = 2\pi n}$$

б)

$$\boxed{x = 2\pi n;\quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n}$$