ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\sin {11}^{\circ }{15}^{\mathrm{\prime }}\cdot \cos {11}^{\circ }{15}^{\mathrm{\prime }}\cdot \cos {22}^{\circ }{30}^{\mathrm{\prime }}\cdot \cos {45}^{\circ }$$

б)

$$\sin \frac{\pi }{48}\cdot \cos \frac{\pi }{48}\cdot \cos \frac{\pi }{24}\cdot \cos \frac{\pi }{12}$$

Вычислить значение:

а) $$$\sin 11^\circ 15′ \cdot \cos 11^\circ 15′ \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ =$

$$= \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 11^\circ 15′) \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{2} \sin 22^\circ 30′ \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ =$$ $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 22^\circ 30′) \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{4} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 45^\circ) =$$ $$= \frac{1}{8} \cdot \sin 90^\circ = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8};$$

Ответ: $\frac{1}{8}$

б)

$$\sin \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12} =$$ $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} =$$ $$= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{12} = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16};$$

Ответ: $\frac{1}{16}$

а)

$$\sin 11^\circ 15′ \cdot \cos 11^\circ 15′ \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ$$

Шаг 1: Применим формулу

$$\sin A \cdot \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A$$

Положим:

$$A = 11^\circ 15′ \Rightarrow \sin 11^\circ 15′ \cdot \cos 11^\circ 15′ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 11^\circ 15′) = \frac{1}{2} \sin 22^\circ 30′$$

Уравнение становится:

$$\frac{1}{2} \sin 22^\circ 30′ \cdot \cos 22^\circ 30′ \cdot \cos 45^\circ$$

Шаг 2: Снова применим $\sin A \cdot \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A$

Пусть $A = 22^\circ 30′$

$$\sin 22^\circ 30′ \cdot \cos 22^\circ 30′ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 22^\circ 30′) = \frac{1}{2} \sin 45^\circ$$

Тогда выражение:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{4} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$$

Шаг 3: Подставим значения $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Но мы можем снова применить формулу:

$$\sin A \cdot \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A \Rightarrow \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ = \frac{1}{2} \sin 90^\circ$$ $$= \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Подставим в выражение

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{8}}$$

б)

$$\sin \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$$

Шаг 1: Применим формулу

$$\sin A \cdot \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A$$

Пусть $A = \frac{\pi}{48}$

$$\sin \frac{\pi}{48} \cdot \cos \frac{\pi}{48} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{48} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{24}$$

Теперь выражение:

$$\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$$

Шаг 2: Применим формулу к $\sin \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24}$

$$\sin \frac{\pi}{24} \cdot \cos \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{24} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{12}$$

Теперь:

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12}$$

Шаг 3: Снова применим формулу

$$\sin \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6}$$ $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{6} \Rightarrow \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Подставим и вычислим

$$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{16}}}$$$$\boxed{\frac{1}{16}}$$