ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{1+\cos {40}^{\circ }+\cos {80}^{\circ }}{\sin {80}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }}\cdot \mathrm{tg}{40}^{\circ }$$

б)

$$\frac{1-\cos {25}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }}{\sin {50}^{\circ }-\sin {25}^{\circ }}-\mathrm{tg}{65}^{\circ }$$

Вычислить значение:

а)

$$\frac{1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ}{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^\circ =$$ $$= \frac{(\cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ) + \cos 40^\circ + (\cos^2 40^\circ — \sin^2 40^\circ)}{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^\circ =$$ $$= \frac{2 \cos^2 40^\circ + \cos 40^\circ}{2 \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^\circ = \frac{\cos 40^\circ \cdot (2 \cos 40^\circ + 1)}{\sin 40^\circ \cdot (2 \cos 40^\circ + 1)} \cdot \operatorname{tg} 40^\circ =$$ $$= \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} \cdot \operatorname{tg} 40^\circ = \operatorname{ctg} 40^\circ \cdot \operatorname{tg} 40^\circ = 1;$$

Ответ: 1.

б)

$$\frac{1 — \cos 25^\circ + \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ — \sin 25^\circ} — \operatorname{tg} 65^\circ =$$ $$= \frac{(\cos^2 25^\circ + \sin^2 25^\circ) — \cos 25^\circ + (\cos^2 25^\circ — \sin^2 25^\circ)}{\sin 50^\circ — \sin 25^\circ} — \operatorname{tg} 65^\circ =$$ $$= \frac{2 \cos^2 25^\circ — \cos 25^\circ}{2 \sin 25^\circ \cdot \cos 25^\circ — \sin 25^\circ} — \operatorname{tg} 65^\circ = \frac{\cos 25^\circ \cdot (2 \cos 25^\circ — 1)}{\sin 25^\circ \cdot (2 \cos 25^\circ — 1)} — \operatorname{tg} 65^\circ =$$ $$= \frac{\cos 25^\circ}{\sin 25^\circ} — \operatorname{tg}(90^\circ — 25^\circ) = \operatorname{ctg} 25^\circ — \operatorname{ctg} 25^\circ = 0;$$

Ответ: 0.

а)

$$\frac{1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ}{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ} \cdot \tg 40^\circ$$

Шаг 1: Заметим, что

$$\cos 80^\circ = \cos(2 \cdot 40^\circ),\quad \sin 80^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ)$$

Шаг 2: Используем формулы двойного угла

• $\cos 2A = \cos^2 A — \sin^2 A$
• $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$
• $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

Числитель:

$$1 + \cos 40^\circ + \cos 80^\circ = 1 + \cos 40^\circ + (\cos^2 40^\circ — \sin^2 40^\circ)$$

Так как:

$$1 = \cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ,$$

получаем:

$$(\cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ) + \cos 40^\circ + (\cos^2 40^\circ — \sin^2 40^\circ) = 2 \cos^2 40^\circ + \cos 40^\circ$$

Знаменатель:

$$\sin 80^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ + \sin 40^\circ = \sin 40^\circ (2 \cos 40^\circ + 1)$$

Теперь у нас:

$$\frac{2\cos^2 40^\circ + \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ (2 \cos 40^\circ + 1)} \cdot \tg 40^\circ$$

Шаг 3: Вынесем множители

В числителе:

$$\cos 40^\circ (2 \cos 40^\circ + 1)$$

Сокращаем:

$$\frac{\cos 40^\circ (2 \cos 40^\circ + 1)}{\sin 40^\circ (2 \cos 40^\circ + 1)} \cdot \tg 40^\circ = \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} \cdot \tg 40^\circ$$

Шаг 4: Завершаем

$$\frac{\cos x}{\sin x} = \ctg x,\quad \frac{\sin x}{\cos x} = \tg x$$

Значит:

$$\ctg 40^\circ \cdot \tg 40^\circ = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

б)

$$\frac{1 — \cos 25^\circ + \cos 50^\circ}{\sin 50^\circ — \sin 25^\circ} — \tg 65^\circ$$

Шаг 1: Заметим, что

$$\cos 50^\circ = \cos(2 \cdot 25^\circ),\quad \sin 50^\circ = \sin(2 \cdot 25^\circ)$$

Шаг 2: Используем формулы

• $\cos 2A = \cos^2 A — \sin^2 A$
• $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$
• $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

Числитель:

$$1 — \cos 25^\circ + \cos 50^\circ = (\cos^2 25^\circ + \sin^2 25^\circ) — \cos 25^\circ + (\cos^2 25^\circ — \sin^2 25^\circ)$$ $$= 2 \cos^2 25^\circ — \cos 25^\circ$$

Знаменатель:

$$\sin 50^\circ — \sin 25^\circ = 2 \sin 25^\circ \cos 25^\circ — \sin 25^\circ = \sin 25^\circ (2 \cos 25^\circ — 1)$$

Теперь у нас:

$$\frac{2 \cos^2 25^\circ — \cos 25^\circ}{\sin 25^\circ (2 \cos 25^\circ — 1)} — \tg 65^\circ$$

В числителе выносим $\cos 25^\circ$:

$$\cos 25^\circ (2 \cos 25^\circ — 1)$$

Сокращаем:

$$\frac{\cos 25^\circ}{\sin 25^\circ} — \tg 65^\circ$$

Шаг 3: Замена аргумента

$$\tg 65^\circ = \ctg (90^\circ — 65^\circ) = \ctg 25^\circ$$

Шаг 4: Завершаем

$$\frac{\cos 25^\circ}{\sin 25^\circ} — \ctg 25^\circ = \ctg 25^\circ — \ctg 25^\circ = 0$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 0}}$$