ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\cos^2 t — \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right)$;

б) $\sin^2 t — \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right)$

Доказать тождество:

а) $\cos^2 t — \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right)$;

$\frac{1 + \cos 2t}{2} — \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos 2t — \cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin 2t\right)$;

$\frac{1}{2}\left(\cos 2t — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 2t\right)$;

$\frac{1}{2}(\cos 2t — \sin 2t) = \frac{1}{2}(\cos 2t — \sin 2t)$;

Тождество доказано.

б) $\sin^2 t — \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right)$;

$\frac{1 — \cos 2t}{2} — \frac{1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin 2t \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \cos 2t \cdot \sin\frac{\pi}{4}\right)$;

$\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) — \cos 2t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2t\right)$;

$\frac{1}{2}(\sin 2t — \cos 2t) = \frac{1}{2}(\sin 2t — \cos 2t)$;

Тождество доказано.

а)

$$\cos^2 t — \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right)$$

ШАГ 1: Используем формулу понижения степени:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Подставим в левую часть:

$$\frac{1 + \cos 2t}{2} — \frac{1 + \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} — t\right)\right)}{2}$$

ШАГ 2: Раскрываем скобки во втором косинусе:

$$2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{\pi}{2} — 2t$$

Подставим:

$$\frac{1 + \cos 2t}{2} — \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)}{2}$$

ШАГ 3: Сгруппируем:

$$\frac{1}{2}(\cos 2t — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right))$$

ШАГ 4: Преобразуем $\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)$:

Формула приведения:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x \Rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) = \sin 2t$$

Подставим:

$$\frac{1}{2}(\cos 2t — \sin 2t)$$

ШАГ 5: Преобразуем правую часть тождества:

Нам нужно раскрыть:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right)$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin(x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{4} — 2t\right) = \sin\frac{\pi}{4} \cos 2t — \cos\frac{\pi}{4} \sin 2t$$

Значения:

$$\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим:

$$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 2t$$

Теперь умножим на $\frac{1}{\sqrt{2}}$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2t \right) = \frac{1}{2}(\cos 2t — \sin 2t)$$

Вывод:

$$\frac{1}{2}(\cos 2t — \sin 2t) = \frac{1}{2}(\cos 2t — \sin 2t) \Rightarrow \text{тождество доказано}.$$

б)

$$\sin^2 t — \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right)$$

ШАГ 1: Используем формулу понижения степени:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Подставим:

$$\frac{1 — \cos 2t}{2} — \frac{1 — \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} — t\right)\right)}{2}$$

ШАГ 2: Упростим аргумент:

$$2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} — t\right) = \frac{\pi}{2} — 2t$$

Подставим:

$$\frac{1 — \cos 2t}{2} — \frac{1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)}{2}$$

ШАГ 3: Раскроем скобки:

$$\frac{1}{2} \left(-\cos 2t + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)\right) \Rightarrow \frac{1}{2} \left(\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) — \cos 2t\right)$$

ШАГ 4: Преобразуем $\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right)$:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — 2t\right) = \sin 2t$$

Тогда:

$$\frac{1}{2}(\sin 2t — \cos 2t)$$

ШАГ 5: Преобразуем правую часть:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right)$$

Применим формулу разности синуса:

$$\sin(x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y$$ $$\sin\left(2t — \frac{\pi}{4}\right) = \sin 2t \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \cos 2t \cdot \sin\frac{\pi}{4}$$ $$= \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2t — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2t$$

Умножим на $\frac{1}{\sqrt{2}}$:

$$= \frac{1}{2}(\sin 2t — \cos 2t)$$

Вывод:

$$\frac{1}{2}(\sin 2t — \cos 2t) = \frac{1}{2}(\sin 2t — \cos 2t) \Rightarrow \text{тождество доказано}.$$