ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Зная, что $\cos 2x = \frac{5}{13}$, вычислите:

а) $f = \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2\sin^2 x \cdot \cos^2 x$

${}^{}$б) ${\sin }^{8}x-{\cos }^{8}x$

Известно, что $\cos 2x = \frac{5}{13}$, вычислить:

Значения квадратов функций:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} = \frac{1 — \frac{5}{13}}{2} = \frac{13 — 5}{2 \cdot 13} = \frac{8}{26} = \frac{4}{13};$$ $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1 + \frac{5}{13}}{2} = \frac{13 + 5}{2 \cdot 13} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13};$$

а) $f = \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2\sin^2 x \cdot \cos^2 x$;

$$f = 1^2 — 2 \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{9}{13} = \frac{169}{169} — \frac{72}{169} = \frac{97}{169};$$

Ответ: $\frac{97}{169}$.

б) $f = \sin^8 x — \cos^8 x = (\sin^4 x — \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$;

$$f = (\sin^2 x — \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2\sin^2 x \cdot \cos^2 x);$$ $$f = -\cos 2x \left(1^2 — 2 \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{9}{13}\right) = -\frac{5}{13} \left(\frac{169}{169} — \frac{72}{169}\right) = -\frac{5}{13} \cdot \frac{97}{169} = -\frac{485}{2197};$$

Ответ: $-\frac{485}{2197}$.

Известно:

$$\cos 2x = \frac{5}{13}$$

Найти:

ШАГ 1: Вычислим $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$

Формулы понижения степени:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Вычислим $\sin^2 x$:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \frac{5}{13}}{2} = \frac{\frac{13 — 5}{13}}{2} = \frac{\frac{8}{13}}{2} = \frac{8}{26} = \frac{4}{13}$$

Вычислим $\cos^2 x$:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \frac{5}{13}}{2} = \frac{\frac{13 + 5}{13}}{2} = \frac{\frac{18}{13}}{2} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}$$

а) Найти:

$$f = \sin^4 x + \cos^4 x$$

Формула:

$$a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 — 2a^2b^2$$

Применим:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cos^2 x$$

Знаем, что:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \quad \text{(тригонометрическая основа)}$$ $$\sin^2 x = \frac{4}{13}, \quad \cos^2 x = \frac{9}{13}$$

Подставим:

$$f = 1^2 — 2 \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{9}{13} = 1 — \frac{72}{169} = \frac{169}{169} — \frac{72}{169} = \frac{97}{169}$$

Ответ а):

$$\boxed{\frac{97}{169}}$$

б) Найти:

$$f = \sin^8 x — \cos^8 x$$

Формула:

$$a^8 — b^8 = (a^4 — b^4)(a^4 + b^4)$$

А также:

$$a^4 — b^4 = (a^2 — b^2)(a^2 + b^2)$$

Применим поэтапно:

$$\sin^8 x — \cos^8 x = (\sin^4 x — \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$$

Выражаем:

$$\sin^4 x — \cos^4 x = (\sin^2 x — \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$$

Подставим в формулу:

$$f = (\sin^2 x — \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cos^2 x)$$

Разберем каждую часть:

• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\sin^2 x — \cos^2 x = \frac{4}{13} — \frac{9}{13} = -\frac{5}{13}$
• $(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1$
• $2 \sin^2 x \cos^2 x = 2 \cdot \frac{4}{13} \cdot \frac{9}{13} = \frac{72}{169}$

Подставим:

$$f = -\frac{5}{13} \cdot \left(1 — \frac{72}{169}\right) = -\frac{5}{13} \cdot \frac{97}{169}$$

Перемножим:

$$f = -\frac{5 \cdot 97}{13 \cdot 169} = -\frac{485}{2197}$$

Ответ б):

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{485}{2197}}}$$