ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\cos \frac{\pi }{33}\cdot \cos \frac{2\pi }{33}\cdot \cos \frac{4\pi }{33}\cdot \cos \frac{8\pi }{33}\cdot \cos \frac{16\pi }{33}$$

б)

$$\cos \frac{\pi }{7}\cdot \cos \frac{4\pi }{7}\cdot \cos \frac{5\pi }{7}$$

Вычислить значение:

а)

$$\cos \frac{\pi}{33} \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$= \frac{16}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \left(2 \sin \frac{\pi}{33} \cdot \cos \frac{\pi}{33}\right) \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$= \frac{8}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \left(2 \sin \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{2\pi}{33}\right) \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$= \frac{4}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \left(2 \sin \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33}\right) \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$= \frac{2}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \left(2 \sin \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33}\right) \cdot \cos \frac{16\pi}{33} =$$ $$= \frac{2 \sin \frac{16\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33}}{32 \sin \left(\pi — \frac{32\pi}{33}\right)} = \frac{\sin \frac{32\pi}{33}}{32 \sin \frac{32\pi}{33}} = \frac{1}{32};$$

Ответ: $\frac{1}{32}$.

б)

$$\cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{4}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \left(2 \sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{\pi}{7}\right) \cdot \cos \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \left(\pi — \frac{2\pi}{7}\right) =$$ $$= -\frac{2}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \left(2 \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7}\right) \cdot \cos \frac{4\pi}{7} = -\frac{2 \sin \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7}}{8 \sin \left(\pi — \frac{8\pi}{7}\right)} = \frac{\sin \frac{8\pi}{7}}{8 \sin \frac{8\pi}{7}} = \frac{1}{8};$$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

а)

$$\cos \frac{\pi}{33} \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

ШАГ 1: Идея — использовать формулу:

$$2 \sin A \cos A = \sin 2A$$ $$\text{Значит: } \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A$$

Цель — заменить произведения вида $\sin x \cos x$ на $\frac{1}{2} \sin 2x$, и сокращать.

ШАГ 2: Умножим и разделим на $\sin \frac{\pi}{33}$, чтобы можно было применять тождество:

$$\cos \frac{\pi }{33}\cdot \cos \frac{2\pi }{33}\cdot \cos \frac{4\pi }{33}\cdot \cos \frac{8\pi }{33}\cdot \cos \frac{16\pi }{33}=$$

$$\cos \frac{\pi}{33} \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33} = \\ = \frac{16}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \left(2 \sin \frac{\pi}{33} \cos \frac{\pi}{33} \right) \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

ШАГ 3: Применим тождество:

$$2\sin \frac{\pi }{33}\cos \frac{\pi }{33}=\sin \frac{2\pi }{33}\Rightarrow$$

$$2 \sin \frac{\pi}{33} \cos \frac{\pi}{33} = \sin \frac{2\pi}{33} \Rightarrow \text{Осталось:} \frac{16}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \sin \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{2\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

ШАГ 4: Повторим для следующей пары

Теперь:

$$\sin \frac{2\pi}{33} \cos \frac{2\pi}{33} = \frac{1}{2} \sin \frac{4\pi}{33}$$

Подставим:

$$= \frac{8}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \sin \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{4\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

ШАГ 5: Продолжаем аналогично

$$\sin \frac{4\pi }{33}\cos \frac{4\pi }{33}=\frac{1}{2}\sin \frac{8\pi }{33}\Rightarrow$$

$$\sin \frac{4\pi}{33} \cos \frac{4\pi}{33} = \frac{1}{2} \sin \frac{8\pi}{33} \Rightarrow = \frac{4}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \sin \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{8\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

ШАГ 6: Следующий шаг:

$$\sin \frac{8\pi }{33}\cos \frac{8\pi }{33}=\frac{1}{2}\sin \frac{16\pi }{33}\Rightarrow$$

$$\sin \frac{8\pi}{33} \cos \frac{8\pi}{33} = \frac{1}{2} \sin \frac{16\pi}{33} \Rightarrow = \frac{2}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \sin \frac{16\pi}{33} \cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

ШАГ 7: Последнее преобразование

$$\sin \frac{16\pi }{33}\cos \frac{16\pi }{33}=\frac{1}{2}\sin \frac{32\pi }{33}\Rightarrow$$

$$\sin \frac{16\pi}{33} \cos \frac{16\pi}{33} = \frac{1}{2} \sin \frac{32\pi}{33} \Rightarrow = \frac{1}{32 \sin \frac{\pi}{33}} \cdot \sin \frac{32\pi}{33}$$

Но:

$$\sin \frac{32\pi}{33} = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{33} \right) = \sin \frac{\pi}{33}$$

ШАГ 8: Подставим

$$\frac{\sin \frac{32\pi}{33}}{32 \sin \frac{\pi}{33}} = \frac{\sin \frac{\pi}{33}}{32 \sin \frac{\pi}{33}} = \frac{1}{32}$$

Ответ а):

$$\boxed{\frac{1}{32}}$$

б)

$$\cos \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \frac{5\pi}{7}$$

ШАГ 1: Начнем с представления аналогично пункту (а)

$$= \frac{4}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \left(2 \sin \frac{\pi}{7} \cdot \cos \frac{\pi}{7} \right) \cdot \cos \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \left(\pi — \frac{2\pi}{7} \right)$$

ШАГ 2: Используем свойства функций

$$\cos \left( \pi — x \right) = -\cos x \Rightarrow \cos \left( \pi — \frac{2\pi}{7} \right) = -\cos \frac{2\pi}{7}$$ $$\Rightarrow = \frac{4}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \left(2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \right) \cdot \cos \frac{4\pi}{7} \cdot (-\cos \frac{2\pi}{7})$$

ШАГ 3: Перепишем

$$= -\frac{4}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \left(2 \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \right) \cdot \cos \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7}$$ $$= -\frac{2}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \left(2 \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7} \right) \cdot \cos \frac{4\pi}{7}$$

ШАГ 4: Продолжим

$$2\sin \frac{2\pi }{7}\cdot \cos \frac{2\pi }{7}=\sin \frac{4\pi }{7}\Rightarrow$$

$$2 \sin \frac{2\pi}{7} \cdot \cos \frac{2\pi}{7} = \sin \frac{4\pi}{7} \Rightarrow = -\frac{2}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \sin \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7}$$

ШАГ 5: Финал

$$\sin \frac{4\pi }{7}\cdot \cos \frac{4\pi }{7}=\frac{1}{2}\sin \frac{8\pi }{7}\Rightarrow$$

$$\sin \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \frac{4\pi}{7} = \frac{1}{2} \sin \frac{8\pi}{7} \Rightarrow = -\frac{2}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \frac{1}{2} \sin \frac{8\pi}{7} = -\frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot \sin \frac{8\pi}{7}$$

ШАГ 6: Сравнение аргументов

$$\sin \frac{8\pi}{7} = \sin \left( \pi + \frac{\pi}{7} \right) = -\sin \frac{\pi}{7}$$ $$\Rightarrow = -\frac{1}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \cdot (-\sin \frac{\pi}{7}) = \frac{1}{8}$$

Ответ б):

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{8}}}$$