ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представив 3x в виде x + 2x, докажите тождество:

а) $\sin 3x = 3 \sin x − 4 \sin^3 x$;

б) $\cos 3x = 4 \cos^3 x − 3 \cos x$

Представив $3x$ в виде $x + 2x$, доказать тождество:

а) $\sin 3x = 3 \sin x − 4 \sin^3 x$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cdot \cos x + \cos 2x \cdot \sin x =$$ $$= 2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos x + (\cos^2 x − \sin^2 x) \cdot \sin x =$$ $$= 2 \sin x \cdot \cos^2 x + (1 − \sin^2 x − \sin^2 x) \cdot \sin x =$$ $$= 2 \sin x \cdot (1 − \sin^2 x) + (1 − 2 \sin^2 x) \cdot \sin x =$$ $$= 2 \sin x − 2 \sin^3 x + \sin x − 2 \sin^3 x = 3 \sin x − 4 \sin^3 x;$$

Тождество доказано.

б) $\cos 3x = 4 \cos^3 x − 3 \cos x$;

Преобразуем левую часть равенства:

$$\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cdot \cos x − \sin 2x \cdot \sin x =$$ $$= (\cos^2 x − \sin^2 x) \cdot \cos x − 2 \sin x \cdot \cos x \cdot \sin x =$$ $$= (\cos^2 x − (1 − \cos^2 x)) \cdot \cos x − 2 \sin^2 x \cdot \cos x =$$ $$= (2 \cos^2 x − 1) \cdot \cos x − (1 − \cos^2 x) \cdot 2 \cos x =$$ $$= 2 \cos^3 x − \cos x − 2 \cos x + 2 \cos^3 x = 4 \cos^3 x − 3 \cos x;$$

Тождество доказано.

Представив $3x = x + 2x$, доказать тождество:

а) $\sin 3x = 3\sin x — 4\sin^3 x$

ШАГ 1: Используем формулу синуса суммы

$$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

Положим:

$$a = 2x, \quad b = x \Rightarrow \sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$$

ШАГ 2: Подставим известные формулы для двойного угла

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим в выражение:

$$\sin 3x = (2 \sin x \cos x) \cdot \cos x + (\cos^2 x — \sin^2 x) \cdot \sin x$$

ШАГ 3: Раскроем скобки

$$= 2 \sin x \cos^2 x + \cos^2 x \sin x — \sin^3 x$$

Но в выражении уже есть $\cos^2 x \sin x$, то есть:

$$\sin 3x = 2 \sin x \cos^2 x + \cos^2 x \sin x — \sin^3 x \Rightarrow \sin 3x = \sin x (2 \cos^2 x + \cos^2 x) — \sin^3 x$$

ШАГ 4: Объединим подобные слагаемые

$$\sin 3x = 3 \sin x \cos^2 x — \sin^3 x$$

Теперь используем тождество:

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$$

ШАГ 5: Подставим $\cos^2 x$ в выражение

$$\sin 3x = 3 \sin x (1 — \sin^2 x) — \sin^3 x = 3 \sin x — 3 \sin^3 x — \sin^3 x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x$$

ИТОГ:

$$\boxed{\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x} \quad \text{(тождество доказано)}$$

б) $\cos 3x = 4 \cos^3 x — 3 \cos x$

ШАГ 1: Используем формулу косинуса суммы

$$\cos(a + b) = \cos a \cos b — \sin a \sin b$$

Положим:

$$a = 2x, \quad b = x \Rightarrow \cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x — \sin 2x \sin x$$

ШАГ 2: Подставим формулы двойного угла

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x, \quad \sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Тогда:

$$\cos 3x = (\cos^2 x — \sin^2 x) \cos x — (2 \sin x \cos x) \cdot \sin x$$

ШАГ 3: Раскроем скобки

$$= \cos^3 x — \cos x \sin^2 x — 2 \sin^2 x \cos x$$

Сгруппируем:

$$\cos^3 x — 3 \cos x \sin^2 x$$

ШАГ 4: Подставим $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$

$$\cos 3x = \cos^3 x — 3 \cos x (1 — \cos^2 x) = \cos^3 x — 3 \cos x + 3 \cos^3 x$$

ШАГ 5: Сложим одинаковые слагаемые

$$= 4 \cos^3 x — 3 \cos x$$

ИТОГ:

$$\boxed{{\displaystyle \cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x}}\text{(тождество доказано)}$$