ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.42 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольший отрицательный корень (в градусах) уравнения:

a)

$$\cos x=\frac{\sin {\mathrm{22,5}}^{\circ }\cdot \cos {\mathrm{22,5}}^{\circ }}{{\cos }^2{\mathrm{67,5}}^{\circ }-{\sin }^2{\mathrm{67,5}}^{\circ }};$$

б)

$$\sin x=\frac{{\sin }^2{75}^{\circ }-{\cos }^2{75}^{\circ }}{4\sin {15}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }}$$

Найти наибольший отрицательный корень уравнения:

a)

$$\cos x=\frac{\sin {\mathrm{22,5}}^{\circ }\cdot \cos {\mathrm{22,5}}^{\circ }}{{\cos }^2{\mathrm{67,5}}^{\circ }-{\sin }^2{\mathrm{67,5}}^{\circ }};$$

$$\cos x = \dfrac{\sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ}{\cos^2 67{,}5^\circ — \sin^2 67{,}5^\circ};$$ $$\cos x=\frac{\mathrm{0,5}\cdot \sin (2\cdot {\mathrm{22,5}}^{\circ })}{\cos (2\cdot {\mathrm{67,5}}^{\circ })};$$

$$\cos x = \dfrac{0{,}5 \cdot \sin(2 \cdot 22{,}5^\circ)}{\cos(2 \cdot 67{,}5^\circ)};$$ $$2\cos x=\frac{\sin {45}^{\circ }}{\cos {135}^{\circ }};$$

$$2 \cos x = \dfrac{\sin 45^\circ}{\cos 135^\circ};$$ $$2\cos x=\frac{\sin {45}^{\circ }}{\cos ({90}^{\circ }+{45}^{\circ })};$$

$$2 \cos x = \dfrac{\sin 45^\circ}{\cos(90^\circ + 45^\circ)};$$ $$2\cos x=\frac{\sin {45}^{\circ }}{-\sin {45}^{\circ }};$$

$$2 \cos x = \dfrac{\sin 45^\circ}{-\sin 45^\circ};$$ $$2\cos x=-1;$$

$$2 \cos x = -1;$$ $$\cos x=-\frac{1}{2};$$

$$\cos x = -\dfrac{1}{2};$$ $$x = \pm \left(\pi — \arccos \dfrac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Наибольший отрицательный корень:

$$x = -\dfrac{2\pi}{3} = -\left(\dfrac{180}{\pi} \cdot \dfrac{2\pi}{3}\right)^\circ = -120^\circ;$$

Ответ: $-120^\circ$.

б)

$$\sin x=\frac{{\sin }^2{75}^{\circ }-{\cos }^2{75}^{\circ }}{4\sin {15}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }};$$

$$\sin x = \dfrac{\sin^2 75^\circ — \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ};$$ $$\sin x=\frac{-({\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ })}{2\cdot 2\sin {15}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }};$$

$$\sin x = \dfrac{-(\cos^2 75^\circ — \sin^2 75^\circ)}{2 \cdot 2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ};$$ $$-2\sin x=\frac{\cos (2\cdot {75}^{\circ })}{\sin (2\cdot {15}^{\circ })};$$

$$-2 \sin x = \dfrac{\cos(2 \cdot 75^\circ)}{\sin(2 \cdot 15^\circ)};$$ $$-2\sin x=\frac{\cos {150}^{\circ }}{\sin {30}^{\circ }};$$

$$-2 \sin x = \dfrac{\cos 150^\circ}{\sin 30^\circ};$$ $$-2\sin x=\frac{\cos ({180}^{\circ }-{30}^{\circ })}{\sin {30}^{\circ }};$$

$$-2 \sin x = \dfrac{\cos(180^\circ — 30^\circ)}{\sin 30^\circ};$$ $$-2\sin x=\frac{-\cos {30}^{\circ }}{\sin {30}^{\circ }};$$

$$-2 \sin x = \dfrac{-\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ};$$ $$2\sin x=\frac{\cos {30}^{\circ }}{\sin {30}^{\circ }};$$

$$2 \sin x = \dfrac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ};$$ $$2\sin x=\mathrm{ctg}{30}^{\circ };$$

$$2 \sin x = \ctg 30^\circ;$$ $$2\sin x=\sqrt{3};$$

$$2 \sin x = \sqrt{3};$$ $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2};$$

$$\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi n;$$

Наибольший отрицательный корень:

$$x = -\dfrac{4\pi}{3} = -\left(\dfrac{180}{\pi} \cdot \dfrac{4\pi}{3}\right)^\circ = -240^\circ;$$

Ответ: $-240^\circ$.

Найти наибольший отрицательный корень уравнения:

а)

$$\cos x = \frac{\sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ}{\cos^2 67{,}5^\circ — \sin^2 67{,}5^\circ}$$

Шаг 1. Преобразуем числитель

Используем формулу:

$$\sin A \cdot \cos A = \frac{1}{2} \sin(2A)$$

Применим к $A = 22{,}5^\circ$:

$$\sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 22{,}5^\circ) = \frac{1}{2} \sin 45^\circ$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель

Используем формулу:

$$\cos^2 A — \sin^2 A = \cos(2A)$$

Применим к $A = 67{,}5^\circ$:

$$\cos^2 67{,}5^\circ — \sin^2 67{,}5^\circ = \cos(2 \cdot 67{,}5^\circ) = \cos 135^\circ$$

Шаг 3. Подставим преобразованные выражения

$$\cos x = \frac{0{,}5 \cdot \sin 45^\circ}{\cos 135^\circ}$$ $$2 \cos x = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 135^\circ}$$

Шаг 4. Преобразуем $\cos 135^\circ$

$$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ — 45^\circ) = -\cos 45^\circ$$

А $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Тогда:

$$2 \cos x = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$$

Шаг 5. Получаем:

$$2 \cos x = -1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 6. Решим уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$

Значения $x$, при которых $\cos x = -\frac{1}{2}$:

$$x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{2}\right) + 2\pi n$$

Поскольку $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$$x = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 7. Выберем наибольший отрицательный корень

Положительные корни: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Отрицательные: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Наибольший отрицательный корень — тот, который наиболее близок к нулю, т.е. при $n = 0$:

$$x = -\frac{2\pi}{3}$$

Шаг 8. Переведём в градусы

$$x = -\frac{2\pi}{3} = -\left(\frac{180}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = -120^\circ$$

Ответ: $-120^\circ$

б)

$$\sin x = \frac{\sin^2 75^\circ — \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ}$$

Шаг 1. Преобразуем числитель

Заметим, что:

$$\sin^2 A — \cos^2 A = -(\cos^2 A — \sin^2 A) = -\cos(2A)$$

Поскольку:

$$\cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos 150^\circ$$

То:

$$\sin^2 75^\circ — \cos^2 75^\circ = -\cos 150^\circ$$

Шаг 2. Преобразуем знаменатель

$$4 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = 2 \cdot 2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ = 2 \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ) = 2 \cdot \sin 30^\circ$$

Шаг 3. Соберём всё вместе

$$\sin x = \frac{-\cos 150^\circ}{2 \cdot \sin 30^\circ}$$ $$-2 \sin x = \frac{\cos 150^\circ}{\sin 30^\circ}$$

Шаг 4. Преобразуем $\cos 150^\circ$

$$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ — 30^\circ) = -\cos 30^\circ$$ $$\Rightarrow \frac{\cos 150^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{-\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}$$ $$-2 \sin x = \frac{-\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} \Rightarrow 2 \sin x = \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}$$

Шаг 5. Вычислим численно

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$ $$2 \sin x = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 6. Решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Основной угол:

$$\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$$

Общий вид:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 7. Найдём наибольший отрицательный корень

Найдём $x < 0$, максимально близкий к нулю. Подставим $n = 1$:

$$x = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \quad (\text{положительный})$$

Подставим $n = 2$:

$$x = (-1)^2 \cdot \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \quad (\text{ещё больше})$$

Подставим $n = -1$:

$$x = (-1)^{-1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi \cdot (-1) = -\frac{\pi}{3} — \pi = -\frac{4\pi}{3}$$

Это — наибольший отрицательный корень.

Шаг 8. Переведём в градусы

$$x = -\frac{4\pi}{3} = -\left(\frac{180}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{3}\right) = -240^\circ$$

Ответ: $-{240}^{\circ }$