ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.43 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3 \sin 2x + \cos 2x = 1$;

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$

Решить уравнение:

а) $3 \sin 2x + \cos 2x = 1$;
$3 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x + (\cos^2 x — \sin^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x$;
$6 \sin x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x = 0 \quad | : \sin^2 x$;
$6 \ctg x — 2 = 0$;
$6 \ctg x = 2$;
$\ctg x = \frac{1}{3}$;
$\tg x = 3$;
$x = \arctg 3 + \pi n$;
Одно из решений:
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;
Ответ: $\arctg 3 + \pi n; \pi n$.

б) $\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$;
$(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 2 \cdot 2 \sin 2x \cdot \cos 2x = \sin^2 2x + \cos^2 2x$;
$4 \sin 2x \cdot \cos 2x — 2 \sin^2 2x = 0 \quad | : \sin^2 2x$;
$4 \ctg 2x — 2 = 0$;
$4 \ctg 2x = 2$;
$\ctg 2x = \frac{1}{2}$;
$\tg 2x = 2$;
$2x = \arctg 2 + \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}$;
Одно из решений:
$\sin 2x = 0$;
$2x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi n}{2}$.

а)

Решить уравнение:

$$3 \sin 2x + \cos 2x = 1$$

Шаг 1. Используем формулы двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим:

$$3 \cdot (2 \sin x \cos x) + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 1 \Rightarrow 6 \sin x \cos x + \cos^2 x — \sin^2 x = 1$$

Шаг 2. Переносим 1 влево:

$$6 \sin x \cos x + \cos^2 x — \sin^2 x — 1 = 0$$

Шаг 3. Преобразуем через основное тождество:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1 — \sin^2 x$$

Подставим:

$$6 \sin x \cos x + (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x — 1 = 0 \Rightarrow 6 \sin x \cos x — 2 \sin^2 x = 0$$

Шаг 4. Разделим на $\sin^2 x$, если $\sin x \ne 0$:

$$\frac{6 \sin x \cos x}{\sin^2 x} — \frac{2 \sin^2 x}{\sin^2 x} = 0 \Rightarrow 6 \ctg x — 2 = 0$$

Шаг 5. Решаем уравнение:

$$6 \ctg x = 2 \Rightarrow \ctg x = \frac{1}{3} \Rightarrow \tg x = 3 \Rightarrow x = \arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 6. Отдельно рассмотрим случай $\sin x = 0$:

$$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Проверим подстановкой в исходное уравнение:

$$\sin 2x=0,\cos 2x=1\Rightarrow 3\cdot 0+1=1$$

$$\sin 2x = 0, \quad \cos 2x = 1 \Rightarrow 3 \cdot 0 + 1 = 1 \quad \text{(равенство выполнено)}$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = \arctg 3 + \pi n; \quad x = \pi n}$$

б)

Решить уравнение:

$$\cos 4x + 2 \sin 4x = 1$$

Шаг 1. Используем формулы:

$$\cos 4x = \cos^2 2x — \sin^2 2x, \quad \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$$

Подставим:

$$(\cos^2 2x — \sin^2 2x) + 2 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) = 1 \Rightarrow \cos^2 2x — \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x = 1$$

Шаг 2. Преобразуем через тождество:

$$\cos^2 2x = 1 — \sin^2 2x$$

Подставим:

$$(1 — \sin^2 2x) — \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x = 1 \Rightarrow 1 — 2 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x = 1$$

Вычитаем 1:

$$-2 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x = 0$$

Шаг 3. Делим на $\sin^2 2x$, если $\sin 2x \ne 0$:

$$\frac{4 \sin 2x \cos 2x}{\sin^2 2x} — 2 = 0 \Rightarrow 4 \ctg 2x — 2 = 0 \Rightarrow \ctg 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \tg 2x = 2$$

Шаг 4. Решаем:

$$2x = \arctg 2 + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{2} \arctg 2 + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5. Отдельно рассмотрим случай $\sin 2x = 0$:

$$\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Проверим:

$$4x=2\pi n\Rightarrow \cos 4x=1,\sin 4x=0\Rightarrow 1+0=1$$

$$4x = 2\pi n \Rightarrow \cos 4x = 1, \quad \sin 4x = 0 \Rightarrow 1 + 0 = 1 \quad \text{(равенство выполнено)}$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}2+\frac{\pi n}{2};x=\frac{\pi n}{2}}}$$