ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.46 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение:

а)

$$(\cos x-\sin x{)}^2=1-2\sin 2x,x\in [\frac{20\pi }{9};\frac{28\pi }{9}];$$

б)

$$2{\cos }^2(2x-\frac{\pi }{4})-2{\sin }^2(\frac{\pi }{4}-2x)+1=0,x\in [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}]$$

Сколько корней имеет уравнение на заданном отрезке:

а)

$$(\cos x — \sin x)^2 = 1 — 2 \sin 2x,\quad x \in \left[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}\right];$$ $$\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 1 — 2 \sin 2x;$$ $$1 — \sin 2x = 1 — 2 \sin 2x;$$ $$\sin 2x = 2 \sin 2x;$$ $$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

На заданном отрезке:

$$x_1 = \frac{5\pi}{2} = \frac{225\pi}{90};$$ $$x_2 = \frac{6\pi}{2} = 3\pi = \frac{27\pi}{9};$$

Ответ: 2.

б)

$$2 \cos^2\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) — 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) + 1 = 0,\quad x \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right];$$ $$2 \cdot \frac{1 — \cos\left(4x — \frac{\pi}{2}\right)}{2} — 2 \cdot \frac{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} — 4x\right)}{2} + 1 = 0;$$ $$1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 4x\right) — 1 — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 4x\right) + 1 = 0;$$ $$1 — 2 \sin 4x = 0;$$ $$2 \sin 4x = 1;$$ $$\sin 4x = \frac{1}{2};$$ $$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4};$$

На заданном отрезке:

$$x_1 = \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi}{4} = \frac{13\pi}{24};$$ $$x_2 = -\frac{\pi}{24} + \frac{3\pi}{4} = \frac{17\pi}{24};$$ $$x_3 = \frac{\pi}{24} + \frac{4\pi}{4} = \frac{25\pi}{24};$$ $$x_4 = -\frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{4} = \frac{29\pi}{24};$$

Ответ: 4.

а)

Решить:

$$(\cos x — \sin x)^2 = 1 — 2 \sin 2x,\quad x \in \left[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}\right]$$

Шаг 1: Раскрытие скобок слева

$$(\cos x — \sin x)^2 = \cos^2 x — 2 \cos x \sin x + \sin^2 x$$

Поскольку $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем:

$$\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \cos x \sin x = 1 — 2 \cos x \sin x$$

Также:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin 2x$$

Шаг 2: Подставим и упростим

$$\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cos x = 1 — 2 \sin 2x$$ $$1 — \sin 2x = 1 — 2 \sin 2x$$

Шаг 3: Переносим всё в одну сторону

$$1 — \sin 2x — (1 — 2 \sin 2x) = 0 \Rightarrow 1 — \sin 2x — 1 + 2 \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0$$

Шаг 4: Решаем тригонометрическое уравнение

$$\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 5: Найдём значения $x$ на отрезке $\left[\frac{20\pi}{9}; \frac{28\pi}{9}\right]$

Найдём значения $n$, при которых:

$$\frac{20\pi}{9} \leq \frac{\pi n}{2} \leq \frac{28\pi}{9} \Rightarrow \frac{20}{9} \leq \frac{n}{2} \leq \frac{28}{9} \Rightarrow \frac{40}{9} \leq n \leq \frac{56}{9}$$

Оценим границы:

$$\frac{40}{9} \approx 4.44,\quad \frac{56}{9} \approx 6.22 \Rightarrow n = 5,\ 6$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{\pi \cdot 5}{2} = \frac{5\pi}{2},\quad x_2 = \frac{\pi \cdot 6}{2} = 3\pi$$

Проверим, входят ли в отрезок:

• $\frac{5\pi}{2} = \frac{45\pi}{18} = \frac{225\pi}{90}$
• $\frac{20\pi}{9} = \frac{200\pi}{90}$, $\frac{28\pi}{9} = \frac{280\pi}{90}$

→ $\frac{225\pi}{90} \in \left[\frac{200\pi}{90}, \frac{280\pi}{90}\right]$

• $3\pi = \frac{27\pi}{9} \in \left[\frac{20\pi}{9}, \frac{28\pi}{9}\right]$

Оба решения принадлежат отрезку.

Ответ (а):

$$\boxed{2}$$

б)

Решить:

$$2 \cos^2\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) — 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) + 1 = 0,\quad x \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$$

Шаг 1: Заметим, что аргументы в тригонометрических функциях одинаковые

$$2x — \frac{\pi}{4} = -\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) \Rightarrow \cos^2\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right)$$

И:

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{4} — 2x\right) = \sin^2\left(2x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Поэтому можно упростить исходное уравнение:

$$2 \cos^2\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) — 2 \sin^2\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$$

Шаг 2: Используем тригонометрическую формулу

$$\cos^2 A — \sin^2 A = \cos 2A \Rightarrow 2(\cos^2 A — \sin^2 A) = 2 \cos 2A$$

Где $A = 2x — \frac{\pi}{4}$

$$2 \cos 2\left(2x — \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cos\left(4x — \frac{\pi}{2}\right) + 1 = 0 \Rightarrow \cos\left(4x — \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3: Используем формулу приведения

$$\cos\left(4x — \frac{\pi}{2}\right) = \sin 4x \Rightarrow \sin 4x = -\frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решаем уравнение

$$\sin 4x = -\frac{1}{2}$$

Общее решение:

$$4x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Разделим обе части на 4:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 5: Подставим значения $n$ и найдём, какие из $x$ попадают в отрезок $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$

Напомним:

$$\frac{\pi}{2} = \frac{12\pi}{24},\quad \frac{3\pi}{2} = \frac{36\pi}{24}$$

Пробуем $n = 2$:

$$x = \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{24} + \frac{12\pi}{24} = \frac{13\pi}{24} \ ✅$$

$n = 3$:

$$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{24} + \frac{18\pi}{24} = \frac{17\pi}{24} \ ✅$$

$n = 4$:

$$x = \frac{\pi}{24} + \pi = \frac{\pi}{24} + \frac{24\pi}{24} = \frac{25\pi}{24} \ ✅$$

$n = 5$:

$$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{5\pi}{4} = -\frac{\pi}{24} + \frac{30\pi}{24} = \frac{29\pi}{24} \ ✅$$

$n = 6$:

$$x = \frac{\pi}{24} + \frac{6\pi}{4} = \frac{37\pi}{24} > \frac{3\pi}{2} \ ❌$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle 4}}$$