ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.48 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\sin x = \dfrac{2 \operatorname{tg} \dfrac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}}$;

б) $\cos x = \dfrac{1 — \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}}$

Доказать тождество:

а) $\sin x = \dfrac{2 \operatorname{tg} \dfrac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\dfrac{2 \operatorname{tg} \dfrac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}} = \dfrac{2 \sin \dfrac{x}{2}}{\cos \dfrac{x}{2}} \cdot \dfrac{\cos^2 \dfrac{x}{2}}{\cos^2 \dfrac{x}{2} + \sin^2 \dfrac{x}{2}} = \dfrac{2 \sin \dfrac{x}{2} \cdot \cos \dfrac{x}{2}}{\cos^2 \dfrac{x}{2} + \sin^2 \dfrac{x}{2}} = \dfrac{\sin 2x}{1} = \sin x;$$

Тождество доказано.

б) $\cos x = \dfrac{1 — \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}}$;

Преобразуем правую часть равенства:

$$\dfrac{1 — \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \dfrac{x}{2}} = \dfrac{1 — \dfrac{1 — \cos x}{1 + \cos x}}{1 + \dfrac{1 — \cos x}{1 + \cos x}} = \dfrac{(1 + \cos x) — (1 — \cos x)}{(1 + \cos x) + (1 — \cos x)} = \dfrac{2 \cos x}{2} = \cos x;$$

Тождество доказано.

а)

$$\sin x = \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}}$$

Цель: доказать, что правая часть равна $\sin x$.

Шаг 1: Распишем $\tg \frac{x}{2}$ через $\sin$ и $\cos$

$$\tg \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}, \quad \tg^2 \frac{x}{2} = \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}$$

Подставим это в правую часть:

$$\frac{2 \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

Приведём к общему знаменателю:

$$1 + \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}$$

А числитель остаётся:

$$2 \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$$

Шаг 3: Деление дробей

$$\frac{2 \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = 2 \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \cdot \frac{\cos^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}}$$

Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество

$$\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow = 2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}$$

Шаг 5: Применим формулу двойного угла

$$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$$

Вывод:

$$\frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} = \sin x$$

Тождество доказано.

б)

$$\cos x = \frac{1 — \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}}$$

Цель: доказать, что правая часть равна $\cos x$

Шаг 1: Выразим $\tg^2 \frac{x}{2}$ через $\cos x$

Формула:

$$\tg^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}$$

Подставим:

$$\frac{1 — \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}}{1 + \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x}}$$

Шаг 2: Преобразуем числитель

$$1 — \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} = \frac{(1 + \cos x) — (1 — \cos x)}{1 + \cos x} = \frac{2 \cos x}{1 + \cos x}$$

Шаг 3: Преобразуем знаменатель

$$1 + \frac{1 — \cos x}{1 + \cos x} = \frac{(1 + \cos x) + (1 — \cos x)}{1 + \cos x} = \frac{2}{1 + \cos x}$$

Шаг 4: Соберём выражение

$$\frac{\frac{2 \cos x}{1 + \cos x}}{\frac{2}{1 + \cos x}} = \frac{2 \cos x}{1 + \cos x} \cdot \frac{1 + \cos x}{2} = \cos x$$

Вывод:

$$\frac{1 — \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}} = \cos x$$

Тождество доказано.