ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.49 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Используя замену $u = \tg\frac{x}{2}$ и тождества из упражнения 21.48, решите уравнение:

a) $\sin x + 7 \cos x = 5$;

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0$

Используя замену $u = \tg\frac{x}{2}$, решить уравнение:

a) $\sin x + 7 \cos x = 5$;

$$\frac{2 \cdot \tg\frac{x}{2}}{1 + \tg^2\frac{x}{2}} + 7 \cdot \frac{1 — \tg^2\frac{x}{2}}{1 + \tg^2\frac{x}{2}} = 5;$$

Пусть $u = \tg\frac{x}{2}$, тогда:

$$\frac{2u}{1 + u^2} + \frac{7(1 — u^2)}{1 + u^2} = 5;$$ $$2u + 7(1 — u^2) = 5(1 + u^2);$$ $$2u + 7 — 7u^2 = 5 + 5u^2;$$ $$12u^2 — 2u — 2 = 0;$$ $$6u^2 — u — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$u_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 6} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3};$$ $$u_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$$\tg\frac{x}{2} = -\frac{1}{3};$$ $$\frac{x}{2} = -\arctg\frac{1}{3} + \pi n;$$ $$x = -2 \arctg\frac{1}{3} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\tg\frac{x}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\frac{x}{2} = \arctg\frac{1}{2} + \pi n;$$ $$x = 2 \arctg\frac{1}{2} + 2\pi n;$$

Ответ:$$$-2 \arctg\frac{1}{3} + 2\pi n; \quad 2 \arctg\frac{1}{2} + 2\pi n$.

б) $5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0$;

$$5 \cdot \frac{2 \cdot \tg\frac{x}{2}}{1 + \tg^2\frac{x}{2}} + 10 \cdot \frac{1 — \tg^2\frac{x}{2}}{1 + \tg^2\frac{x}{2}} + 2 = 0;$$

Пусть $u = \tg\frac{x}{2}$, тогда:

$$\frac{10u}{1 + u^2} + \frac{10(1 — u^2)}{1 + u^2} + 2 = 0;$$ $$10u + 10(1 — u^2) + 2(1 + u^2) = 0;$$ $$10u + 10 — 10u^2 + 2 + 2u^2 = 0;$$ $$8u^2 — 10u — 12 = 0;$$ $$4u^2 — 5u — 6 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 4 \cdot 6 = 25 + 96 = 121, \text{ тогда:}$$ $$u_1 = \frac{5 — 11}{2 \cdot 4} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4};$$ $$u_2 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2;$$

Первое значение:

$$\tg\frac{x}{2} = -\frac{3}{4};$$ $$\frac{x}{2} = -\arctg\frac{3}{4} + \pi n;$$ $$x = -2 \arctg\frac{3}{4} + 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\tg\frac{x}{2} = 2;$$ $$\frac{x}{2} = \arctg 2 + \pi n;$$ $$x = 2 \arctg 2 + 2\pi n;$$

Ответ:$$$-2 \arctg\frac{3}{4} + 2\pi n; \quad 2 \arctg 2 + 2\pi n$.

Используя замену $u = \tg\frac{x}{2}$, решить уравнение:

а)

$$\sin x + 7 \cos x = 5$$

Шаг 1: Замена по универсальной тригонометрической подстановке (формулы Пойа)

Для выражения $\sin x$ и $\cos x$ через $\tg \frac{x}{2}$, используем:

$$\sin x = \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}}, \quad \cos x = \frac{1 — \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}}$$

Шаг 2: Подставим формулы в уравнение

$$\frac{2 \tg\frac{x}{2}}{1 + \tg^2\frac{x}{2}} + 7 \cdot \frac{1 — \tg^2\frac{x}{2}}{1 + \tg^2\frac{x}{2}} = 5$$

Шаг 3: Вводим замену $u = \tg\frac{x}{2}$

$$\frac{2u}{1 + u^2} + \frac{7(1 — u^2)}{1 + u^2} = 5$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю

Так как у обеих дробей знаменатель одинаковый, можно объединить числители:

$$\frac{2u + 7(1 — u^2)}{1 + u^2} = 5$$

Шаг 5: Убираем знаменатель (домножим обе части на $1 + u^2$)

$$2u + 7(1 — u^2) = 5(1 + u^2)$$

Шаг 6: Раскрываем скобки

Левая часть:

$$2u + 7 — 7u^2$$

Правая часть:

$$5 + 5u^2$$

Итак:

$$2u + 7 — 7u^2 = 5 + 5u^2$$

Шаг 7: Переносим всё в одну сторону

$$2u + 7 — 7u^2 — 5 — 5u^2 = 0 \Rightarrow -12u^2 + 2u + 2 = 0$$

Умножим на $-1$ и упростим:

$$12u^2 — 2u — 2 = 0 \Rightarrow 6u^2 — u — 1 = 0$$

Шаг 8: Решим квадратное уравнение

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 + 24 = 25$$ $$u_1 = \frac{1 — \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 — 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$$ $$u_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Шаг 9: Возвращаемся к переменной $x$

Первый корень: $u = -\frac{1}{3} \Rightarrow \tg \frac{x}{2} = -\frac{1}{3}$

$$\frac{x}{2} = -\arctg \frac{1}{3} + \pi n \Rightarrow x = -2 \arctg \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Второй корень: $u = \frac{1}{2} \Rightarrow \tg \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$

$$\frac{x}{2} = \arctg \frac{1}{2} + \pi n \Rightarrow x = 2 \arctg \frac{1}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = -2 \arctg\frac{1}{3} + 2\pi n; \quad x = 2 \arctg\frac{1}{2} + 2\pi n$$

б)

$$5 \sin x + 10 \cos x + 2 = 0$$

Шаг 1: Подставим по формулам:

$$\sin x = \frac{2 \tg \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}}, \quad \cos x = \frac{1 — \tg^2 \frac{x}{2}}{1 + \tg^2 \frac{x}{2}}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$5 \cdot \frac{2 \tg\frac{x}{2}}{1 + \tg^2\frac{x}{2}} + 10 \cdot \frac{1 — \tg^2\frac{x}{2}}{1 + \tg^2\frac{x}{2}} + 2 = 0$$

Шаг 3: Замена $u = \tg\frac{x}{2}$

$$\frac{10u}{1 + u^2} + \frac{10(1 — u^2)}{1 + u^2} + 2 = 0$$

Шаг 4: Объединяем дроби

$$\frac{10u + 10(1 — u^2)}{1 + u^2} + 2 = 0$$ $$\Rightarrow \frac{10u + 10 — 10u^2}{1 + u^2} + 2 = 0$$

Шаг 5: Домножаем обе части на $1 + u^2$

$$10u + 10 — 10u^2 + 2(1 + u^2) = 0$$

Шаг 6: Раскроем скобки

$$10u + 10 — 10u^2 + 2 + 2u^2 = 0 \Rightarrow -8u^2 + 10u + 12 = 0$$

Умножим обе части на $-1$:

$$8u^2 — 10u — 12 = 0 \Rightarrow 4u^2 — 5u — 6 = 0$$

Шаг 7: Решим квадратное уравнение

$$D = (-5)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 6 = 25 + 96 = 121$$ $$u_1 = \frac{5 — 11}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$$ $$u_2 = \frac{5 + 11}{8} = \frac{16}{8} = 2$$

Шаг 8: Возвращаемся к переменной $x$

Первый корень: $u = -\frac{3}{4} \Rightarrow \tg \frac{x}{2} = -\frac{3}{4}$

$$\frac{x}{2} = -\arctg \frac{3}{4} + \pi n \Rightarrow x = -2 \arctg \frac{3}{4} + 2\pi n$$

Второй корень: $u = 2 \Rightarrow \tg \frac{x}{2} = 2$

$$\frac{x}{2} = \arctg 2 + \pi n \Rightarrow x = 2 \arctg 2 + 2\pi n$$

Ответ:

$$x=-2\mathrm{arctg}\frac{3}{4}+2\pi n;x=2\mathrm{arctg}2+2\pi n$$