ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{tg\frac{\pi }{8}}{1-t{g}^2\frac{\pi }{8}}$$

б)

$$\frac{tg{75}^{\circ }}{1-t{g}^2{75}^{\circ }}$$

Вычислить значение:

а)

$$\frac{tg\frac{\pi}{8}}{1 — tg^2\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\,tg\frac{\pi}{8}}{1 — tg^2\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{2} \cdot tg\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \cdot tg\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2};$$

Ответ:

$$\frac{1}{2}$$

б)

$$\frac{tg{75}^{\circ }}{1-t{g}^2{75}^{\circ }}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2tg{75}^{\circ }}{1-t{g}^2{75}^{\circ }}=\frac{1}{2}\cdot tg(2\cdot {75}^{\circ })=\frac{1}{2}\cdot tg{150}^{\circ }=$$

$$\frac{tg\,75^\circ}{1 — tg^2\,75^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\,tg\,75^\circ}{1 — tg^2\,75^\circ} = \frac{1}{2} \cdot tg(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \cdot tg\,150^\circ = \frac{1}{2} \cdot tg(180^\circ — 30^\circ) = -\frac{1}{2} \cdot tg\,30^\circ = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{6};$$

Ответ:

$$-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

а)

$$\frac{\tan \frac{\pi}{8}}{1 — \tan^2 \frac{\pi}{8}}$$

Шаг 1: Используем формулу двойного угла для тангенса

Формула:

$$\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha}$$

Шаг 2: Обратное применение формулы

Заметим, что:

$$\frac{\tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \tan \alpha}{1 — \tan^2 \alpha} = \frac{1}{2} \cdot \tan(2\alpha)$$

Шаг 3: Подставим $\alpha = \frac{\pi}{8}$

$$\frac{\tan \frac{\pi}{8}}{1 — \tan^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \tan\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \cdot \tan \frac{\pi}{4}$$

Шаг 4: Вычислим $\tan \frac{\pi}{4}$

$$\tan \frac{\pi}{4} = 1$$

Шаг 5: Получим окончательное значение

$$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

б)

$$\frac{\tan 75^\circ}{1 — \tan^2 75^\circ}$$

Шаг 1: Аналогично, применим формулу тангенса двойного угла в обратную сторону

$$\frac{\tan x}{1 — \tan^2 x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \tan x}{1 — \tan^2 x} = \frac{1}{2} \cdot \tan(2x)$$

Шаг 2: Подставим $x = 75^\circ$

$$\frac{\tan 75^\circ}{1 — \tan^2 75^\circ} = \frac{1}{2} \cdot \tan(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \tan 150^\circ$$

Шаг 3: Преобразуем угол $\tan 150^\circ$

$$\tan 150^\circ = \tan(180^\circ — 30^\circ)$$

Формула:

$$\tan(180^\circ — x) = -\tan x$$ $$\tan 150^\circ = -\tan 30^\circ$$

Шаг 4: Значение $\tan 30^\circ$

$$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow \tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 5: Подставим в выражение

$$\frac{1}{2} \cdot \tan 150^\circ = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$$

Шаг 6: Преобразуем дробь

$$-\frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{6}}$$