ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.51 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x;$$

б)

$$4\sin 2x+8(\sin x-\cos x)=7$$

Решить уравнение:

а)

$$\sin 2x + 2 \sin x = 2 — 2 \cos x;$$ $$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2 \sin x \cdot \cos x — 1 = 2 — 2 \cos x — 2 \sin x;$$ $$(\sin x + \cos x)^2 — 1 = 2 — 2(\sin x + \cos x);$$

Пусть $y = \sin x + \cos x$, тогда:

$$y^2 — 1 = 2 — 2y;$$ $$y^2 + 2y — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \dfrac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad y_2 = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\sin x + \cos x = -3;$$ $$x \in \varnothing;$$ $$\sin x \ge -1,\ \cos x \ge -1;$$

Второе значение:

$$\sin x + \cos x = 1 \quad | : \sqrt{2};$$ $$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin \dfrac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos \dfrac{\pi}{4} \cdot \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \left(x — \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x — \dfrac{\pi}{4} = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = \dfrac{\pi}{4} — \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x_2 = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$2\pi n; \quad \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

б)

$$4 \sin 2x + 8(\sin x — \cos x) = 7;$$ $$8(\sin x — \cos x) = 3 + 4(\sin x + \cos x) — 8 \sin x \cdot \cos x;$$ $$8(\sin x — \cos x) = 3 + 4(\sin x — \cos x)^2;$$

Пусть $y = \sin x — \cos x$, тогда:

$$8y = 3 + 4y^2;$$ $$4y^2 — 8y + 3 = 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \dfrac{8 — 4}{2 \cdot 4} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}, \quad y_2 = \dfrac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2};$$

Первое значение:

$$\sin x — \cos x = \dfrac{1}{2} \quad | : \sqrt{2};$$ $$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \dfrac{1}{2\sqrt{2}};$$ $$\cos \dfrac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \dfrac{\pi}{4} \cdot \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{4};$$ $$\sin \left(x — \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{4};$$ $$x — \dfrac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \pi n;$$ $$x = \dfrac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\sin x — \cos x = \dfrac{3}{2} \quad | : \sqrt{2};$$ $$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \dfrac{3}{2\sqrt{2}};$$ $$\cos \dfrac{\pi}{4} \cdot \sin x — \sin \dfrac{\pi}{4} \cdot \cos x = \dfrac{3\sqrt{2}}{4};$$ $$\sin \left(x — \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{3\sqrt{2}}{4};$$ $$x \in \varnothing;$$ $$\dfrac{16}{9} > 2 \Rightarrow \dfrac{4}{3} > \sqrt{2} \Rightarrow \dfrac{3\sqrt{2}}{4} > 1;$$

Ответ:

$$\dfrac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \pi n.$$

а)

$$\sin 2x + 2 \sin x = 2 — 2 \cos x$$

Шаг 1. Применим формулу двойного угла

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Тогда:

$$2 \sin x \cos x + 2 \sin x = 2 — 2 \cos x$$

Шаг 2. Переносим всё в одну сторону

$$2 \sin x \cos x + 2 \sin x — 2 + 2 \cos x = 0$$

Шаг 3. Упорядочим члены

Сгруппируем:

$$(2 \sin x \cos x + 2 \sin x) + 2 \cos x — 2 = 0$$

Шаг 4. Добавим вспомогательное тождество

Напомним:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x$$

Таким образом:

$$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x \Rightarrow 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 — 1$$

Шаг 5. Подставим в уравнение

Левую часть:

$$2 \sin x \cos x + 2 \sin x = (\sin x + \cos x)^2 — 1 + 2 \sin x$$

Но заметим:

$$2 \sin x = 2 (\sin x + \cos x) — 2 \cos x$$

Мы можем пойти проще:
Используем тождество:

$$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x$$

И заметим:

$$(\sin x + \cos x)^2 — 1 = 2 \sin x \cos x$$

Подставим:

$$(\sin x + \cos x)^2 — 1 = 2 — 2(\sin x + \cos x)$$

Шаг 6. Вводим замену

Пусть:

$$y = \sin x + \cos x$$

Тогда уравнение становится:

$$y^2 — 1 = 2 — 2y$$

Шаг 7. Преобразуем уравнение

Переносим всё в одну сторону:

$$y^2 + 2y — 3 = 0$$

Шаг 8. Решим квадратное уравнение

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \\ y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Шаг 9. Анализ корней

$y = -3$

$$\sin x + \cos x = -3$$

Это невозможно, т.к.:

• $\sin x \in [-1, 1]$
• $\cos x \in [-1, 1]$
• $\sin x + \cos x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.41, 1.41]$

Значит:

$$x \in \varnothing$$

$y = 1$

$$\sin x + \cos x = 1$$

Шаг 10. Преобразуем сумму синуса и косинуса

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Слева — скалярное произведение векторов, эквивалентное:

$$\cos \left(x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 11. Решим уравнение

$$\cos \left(x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решения:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 0 + 2\pi n = 2\pi n \\ x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases}$$

Ответ (а):

$$\boxed{2\pi n;\ \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n}$$

б)

$$4 \sin 2x + 8(\sin x — \cos x) = 7$$

Шаг 1. Используем формулу двойного угла

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow 4 \sin 2x = 8 \sin x \cos x$$

Шаг 2. Подставим

$$8 \sin x \cos x + 8 (\sin x — \cos x) = 7$$

Вынесем 8:

$$8 (\sin x \cos x + \sin x — \cos x) = 7$$

Шаг 3. Используем тождество:

Преобразуем:

$$8 (\sin x — \cos x) = 7 — 8 \sin x \cos x$$

Шаг 4. Выразим через $y = \sin x — \cos x$

Квадрат суммы:

$$(\sin x — \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x — 2 \sin x \cos x = 1 — 2 \sin x \cos x$$

Тогда:

$$\sin x \cos x = \frac{1 — y^2}{2}$$

Шаг 5. Подставим в уравнение

Исходное уравнение:

$$8y = 7 — 8 \cdot \frac{1 — y^2}{2} = 7 — 4(1 — y^2) = 7 — 4 + 4y^2 = 3 + 4y^2$$

Шаг 6. Переносим всё в одну сторону

$$4y^2 — 8y + 3 = 0$$

Шаг 7. Решим квадратное уравнение

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16$$ $$y_1 = \frac{8 — \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 — 4}{8} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$

Шаг 8. Рассмотрим $y = \sin x — \cos x$

Случай 1: $y = \frac{1}{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

То есть:

$$\sin(x — \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Шаг 9. Решим уравнение

$$x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right) + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right) + \pi n$$

Случай 2: $y = \frac{3}{2}$

$$\sin x — \cos x = \frac{3}{2} \Rightarrow \text{противоречие}$$

Максимум $\sin x — \cos x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.41, 1.41]$

$$\frac{3}{2} > \sqrt{2} \Rightarrow \text{нет решений}$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+(-1{)}^n\cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\pi n}}$$