ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{2} < t < \pi$. Найдите:

а)

$$\sin 2t$$

б)

$$\cos 2t$$

в)

$$tg2t$$

г)

$$ctg2t$$

Известно, что $\sin t = \frac{5}{13}$ и $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\cos t = -\sqrt{1 — \sin^2 t} = -\sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13};$$ $$tg\,t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{5}{13} : \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = -\frac{5}{12};$$

а)

$$\sin 2t = 2 \sin t \cdot \cos t = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{120}{169};$$

Ответ: $-\frac{120}{169}$.

б)

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t = \left(-\frac{12}{13}\right)^2 — \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} — \frac{25}{169} = \frac{119}{169};$$

Ответ: $\frac{119}{169}$.

в)

$$tg\,2t = \frac{2\,tg\,t}{1 — tg^2 t} = \frac{2 \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)}{1 — \left(-\frac{5}{12}\right)^2} = \frac{24 \cdot (-5)}{144 — 25} = -\frac{120}{119};$$

Ответ: $-\frac{120}{119}$.

г)

$$ctg\,2t = \frac{1}{tg\,2t} = \frac{1 — tg^2 t}{2\,tg\,t} = \frac{1 — \left(-\frac{5}{12}\right)^2}{2 \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)} = \frac{144 — 25}{24 \cdot (-5)} = -\frac{119}{120};$$

Ответ: $-\frac{119}{120}$.

Известно, что

$$\sin t = \frac{5}{13}, \quad \text{и} \quad \frac{\pi}{2} < t < \pi$$

Это означает, что угол $t$ лежит во второй четверти.

Подготовка: найдём $\cos t$, $tg\,t$

1. Используем основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$ $$\Rightarrow \cos^2 t = 1 — \sin^2 t = 1 — \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

2. Знак $\cos t$ во второй четверти — отрицательный

$$\cos t = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$$

3. Найдём $tg\,t$

$$tg\,t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{5}{13} \div \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = -\frac{5}{12}$$

а) $\sin 2t$

Используем формулу:

$$\sin 2t = 2 \sin t \cdot \cos t$$

Подставим значения:

$$\sin 2t = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{60}{169}\right) = -\frac{120}{169}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{120}{169}}$$

б) $\cos 2t$

Используем формулу:

$$\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$$

Подставим:

$$\cos^2 t = \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = \frac{144}{169}, \quad \sin^2 t = \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}$$ $$\cos 2t = \frac{144}{169} — \frac{25}{169} = \frac{119}{169}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{119}{169}}$$

в) $tg\,2t$

Используем формулу:

$$tg\,2t = \frac{2 \cdot tg\,t}{1 — tg^2 t}$$

Подставим:

$$tg\,t = -\frac{5}{12}, \quad (tg^2 t = \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{25}{144})$$

Сначала числитель:

$$2 \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = -\frac{10}{12}$$

Теперь знаменатель:

$$1 — \frac{25}{144} = \frac{144 — 25}{144} = \frac{119}{144}$$

Теперь вся дробь:

$$tg\,2t = \frac{-\frac{10}{12}}{\frac{119}{144}} = -\frac{10}{12} \cdot \frac{144}{119}$$

Сократим:

$$-\frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = -\frac{5 \cdot 144}{6 \cdot 119} = -\frac{120}{119}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{120}{119}}$$

г) $ctg\,2t$

Способ 1: обратное значение $tg\,2t$:

$$ctg\,2t = \frac{1}{tg\,2t} = \frac{1}{-\frac{120}{119}} = -\frac{119}{120}$$

Способ 2: через формулу:

$$ctg\,2t = \frac{1 — tg^2 t}{2 \cdot tg\,t}$$

Считаем:

Числитель:

$$1 — \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = 1 — \frac{25}{144} = \frac{119}{144}$$

Знаменатель:

$$2 \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = -\frac{10}{12}$$

Теперь:

$$ctg\,2t = \frac{\frac{119}{144}}{-\frac{10}{12}} = \frac{119}{144} \cdot \left(-\frac{12}{10}\right) = -\frac{119 \cdot 12}{144 \cdot 10}$$

Сократим:

$$\frac{12}{144} = \frac{1}{12}, \quad \Rightarrow -\frac{119}{12 \cdot 10} = -\frac{119}{120}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{119}{120}}}$$