ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x$$

б)

$$2\cos x+\cos 2x+\cos 4x$$

Представить в виде произведения:

а)

$$\sin 5x + 2 \sin 6x + \sin 7x = (\sin 7x + \sin 5x) + 2 \sin 6x =$$ $$= 2 \sin \frac{7x + 5x}{2} \cdot \cos \frac{7x — 5x}{2} + 2 \sin 6x = 2 \sin 6x \cdot \cos x + 2 \sin 6x =$$ $$= 2 \sin 6x \cdot (\cos x + 1) = 4 \sin 6x \cdot \frac{1 + \cos x}{2} = 4 \sin 6x \cdot \cos^2 \frac{x}{2};$$

б)

$$2 \cos x + \cos 2x + \cos 4x = (\cos 4x + \cos 2x) + 2 \cos x =$$ $$= 2 \cos \frac{4x + 2x}{2} \cdot \cos \frac{4x — 2x}{2} + 2 \cos x = 2 \cos 3x \cdot \cos x + 2 \cos x =$$ $$= 2 \cos x \cdot (\cos 3x + 1) = 4 \cos x \cdot \frac{1 + \cos 3x}{2} = 4 \cos x \cdot \cos^2 \frac{3x}{2};$$

а)

$$\sin 5x + 2 \sin 6x + \sin 7x$$

Шаг 1: Сгруппируем первое и последнее слагаемое:

$$(\sin 5x + \sin 7x) + 2 \sin 6x$$

Шаг 2: Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = 7x$,
• $B = 5x$

$$\sin 7x + \sin 5x = 2 \sin\left( \frac{7x + 5x}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{7x — 5x}{2} \right) = 2 \sin 6x \cdot \cos x$$

Шаг 3: Подставим обратно:

$$2 \sin 6x \cdot \cos x + 2 \sin 6x$$

Шаг 4: Вынесем $2 \sin 6x$ за скобки:

$$2 \sin 6x \cdot (\cos x + 1)$$

Шаг 5: Представим $\cos x + 1$ в виде двойного косинуса:

Формула:

$$\cos x + 1 = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$$

Подставим:

$$2 \sin 6x \cdot 2 \cos^2 \frac{x}{2} = 4 \sin 6x \cdot \cos^2 \frac{x}{2}$$

Ответ (а):

$$\sin 5x + 2 \sin 6x + \sin 7x = 4 \sin 6x \cdot \cos^2 \frac{x}{2}$$

б)

$$2 \cos x + \cos 2x + \cos 4x$$

Шаг 1: Сгруппируем $\cos 2x + \cos 4x$:

$$(\cos 2x + \cos 4x) + 2 \cos x$$

Шаг 2: Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = 4x$,
• $B = 2x$

$$\cos 4x + \cos 2x = 2 \cos\left( \frac{4x + 2x}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{4x — 2x}{2} \right) = 2 \cos 3x \cdot \cos x$$

Шаг 3: Подставим:

$$2 \cos 3x \cdot \cos x + 2 \cos x$$

Шаг 4: Вынесем $2 \cos x$ за скобки:

$$2 \cos x (\cos 3x + 1)$$

Шаг 5: Представим $\cos 3x + 1$ через двойной косинус:

Формула:

$$\cos A + 1 = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$$

Значит:

$$\cos 3x + 1 = 2 \cos^2 \frac{3x}{2}$$

Подставим:

$$2 \cos x \cdot 2 \cos^2 \frac{3x}{2} = 4 \cos x \cdot \cos^2 \frac{3x}{2}$$

Ответ (б):

$$2\cos x+\cos 2x+\cos 4x=4\cos x\cdot {\cos }^2\frac{3x}{2}$$