ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sin t+\sin 2t+\sin 3t+\sin 4t$$

б)

$$\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t$$

Представить в виде произведения:

а)

$$\sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t = (\sin 4t + \sin t) + (\sin 3t + \sin 2t) =$$ $$= 2 \sin \frac{4t + t}{2} \cdot \cos \frac{4t — t}{2} + 2 \sin \frac{3t + 2t}{2} \cdot \cos \frac{3t — 2t}{2} =$$ $$= 2 \sin \frac{5t}{2} \cdot \cos \frac{3t}{2} + 2 \sin \frac{5t}{2} \cdot \cos \frac{t}{2} = 2 \sin \frac{5t}{2} \cdot \left( \cos \frac{3t}{2} + \cos \frac{t}{2} \right) =$$ $$= 2 \sin \frac{5t}{2} \cdot 2 \cos \frac{3t + t}{2 \cdot 2} \cdot \cos \frac{3t — t}{2 \cdot 2} = 4 \sin \frac{5t}{2} \cdot \cos t \cdot \cos \frac{t}{2};$$

б)

$$\cos 2t — \cos 4t — \cos 6t + \cos 8t = (\cos 8t + \cos 2t) — (\cos 6t + \cos 4t) =$$ $$= 2 \cos \frac{8t + 2t}{2} \cdot \cos \frac{8t — 2t}{2} — 2 \cos \frac{6t + 4t}{2} \cdot \cos \frac{6t — 4t}{2} =$$ $$= 2 \cos 5t \cdot \cos 3t — 2 \cos 5t \cdot \cos t = 2 \cos 5t \cdot (\cos 3t — \cos t) =$$ $$= 2 \cos 5t \cdot \left( -2 \sin \frac{3t + t}{2} \cdot \sin \frac{3t — t}{2} \right) = -4 \cos 5t \cdot \sin 2t \cdot \sin t;$$

а)

$$\sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t$$

Шаг 1: Группировка слагаемых

Сгруппируем попарно:

$$(\sin t + \sin 4t) + (\sin 2t + \sin 3t)$$

Шаг 2: Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Для пары $\sin t + \sin 4t$:

$$A = 4t,\quad B = t$$ $$= 2 \sin\left( \frac{4t + t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{4t — t}{2} \right) = 2 \sin\left( \frac{5t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{3t}{2} \right)$$

Для пары $\sin 2t + \sin 3t$:

$$A = 3t,\quad B = 2t$$ $$= 2 \sin\left( \frac{3t + 2t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{3t — 2t}{2} \right) = 2 \sin\left( \frac{5t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{t}{2} \right)$$

Шаг 3: Складываем:

$$2 \sin\left( \frac{5t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{3t}{2} \right) + 2 \sin\left( \frac{5t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{t}{2} \right)$$

Шаг 4: Вынесем общий множитель $2 \sin \frac{5t}{2}$:

$$2 \sin\left( \frac{5t}{2} \right) \cdot \left( \cos\left( \frac{3t}{2} \right) + \cos\left( \frac{t}{2} \right) \right)$$

Шаг 5: Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$ $$A = \frac{3t}{2},\quad B = \frac{t}{2}$$ $$= 2 \cos\left( \frac{3t/2 + t/2}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{3t/2 — t/2}{2} \right) = 2 \cos(t) \cdot \cos\left( \frac{t}{2} \right)$$

Шаг 6: Подставим:

$$2 \sin\left( \frac{5t}{2} \right) \cdot 2 \cos(t) \cdot \cos\left( \frac{t}{2} \right) = 4 \sin\left( \frac{5t}{2} \right) \cdot \cos t \cdot \cos \frac{t}{2}$$

Ответ (а):

$$\sin t + \sin 2t + \sin 3t + \sin 4t = 4 \sin\left( \frac{5t}{2} \right) \cdot \cos t \cdot \cos \frac{t}{2}$$

б)

$$\cos 2t — \cos 4t — \cos 6t + \cos 8t$$

Шаг 1: Группировка по парам:

$$(\cos 8t + \cos 2t) — (\cos 6t + \cos 4t)$$

Шаг 2: Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Для $\cos 8t + \cos 2t$:

$$A = 8t,\quad B = 2t$$ $$= 2 \cos\left( \frac{8t + 2t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{8t — 2t}{2} \right) = 2 \cos(5t) \cdot \cos(3t)$$

Для $\cos 6t + \cos 4t$:

$$A = 6t,\quad B = 4t$$ $$= 2 \cos\left( \frac{6t + 4t}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{6t — 4t}{2} \right) = 2 \cos(5t) \cdot \cos(t)$$

Шаг 3: Подставим:

$$2 \cos 5t \cdot \cos 3t — 2 \cos 5t \cdot \cos t = 2 \cos 5t \cdot (\cos 3t — \cos t)$$

Шаг 4: Применим формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$ $$A = 3t,\quad B = t \Rightarrow \cos 3t — \cos t = -2 \sin 2t \cdot \sin t$$

Шаг 5: Подставим:

$$2 \cos 5t \cdot (-2 \sin 2t \cdot \sin t) = -4 \cos 5t \cdot \sin 2t \cdot \sin t$$

Ответ (б):

$$\cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t=-4\cos 5t\cdot \sin 2t\cdot \sin t$$