ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что верно равенство:

а)

$$\sin {20}^{\circ }+\sin {40}^{\circ }-\cos {10}^{\circ }=0;$$

б)

$$\cos {85}^{\circ }+\cos {35}^{\circ }-\cos {25}^{\circ }=0$$

Доказать, что верно равенство:

а)

$$\sin 20^\circ + \sin 40^\circ — \cos 10^\circ = 0;$$ $$(\sin 40^\circ + \sin 20^\circ) — \cos 10^\circ = 0;$$ $$2 \sin \frac{40^\circ + 20^\circ}{2} \cdot \cos \frac{40^\circ — 20^\circ}{2} — \cos 10^\circ = 0;$$ $$2 \sin 30^\circ \cdot \cos 10^\circ — \cos 10^\circ = 0;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ — \cos 10^\circ = 0;$$ $$\cos 10^\circ — \cos 10^\circ = 0;$$ $$0 = 0;$$

Равенство доказано.

б)

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ — \cos 25^\circ = 0;$$ $$(\cos 85^\circ + \cos 35^\circ) — \cos 25^\circ = 0;$$ $$2 \cos \frac{85^\circ + 35^\circ}{2} \cdot \cos \frac{85^\circ — 35^\circ}{2} — \cos 25^\circ = 0;$$ $$2 \cos 60^\circ \cdot \cos 25^\circ — \cos 25^\circ = 0;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 25^\circ — \cos 25^\circ = 0;$$ $$\cos 25^\circ — \cos 25^\circ = 0;$$ $$0 = 0;$$

Равенство доказано.

а)

$$\sin 20^\circ + \sin 40^\circ — \cos 10^\circ = 0$$

Шаг 1: Группировка по скобкам

Сгруппируем два синуса:

$$(\sin 20^\circ + \sin 40^\circ) — \cos 10^\circ$$

Шаг 2: Применим формулу суммы синусов

Формула:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем $A = 40^\circ, B = 20^\circ$:

$$\sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2 \sin\left( \frac{40^\circ + 20^\circ}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{40^\circ — 20^\circ}{2} \right)$$ $$= 2 \sin 30^\circ \cdot \cos 10^\circ$$

Шаг 3: Подставим в выражение

$$2 \sin 30^\circ \cdot \cos 10^\circ — \cos 10^\circ$$

Шаг 4: Используем табличное значение

$$\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ = \cos 10^\circ$$

Шаг 5: Вычитаем

$$\cos 10^\circ — \cos 10^\circ = 0$$

Итог:

$$0 = 0 \quad \text{→ Равенство доказано.}$$

б)

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ — \cos 25^\circ = 0$$

Шаг 1: Группируем косинусы

$$(\cos 85^\circ + \cos 35^\circ) — \cos 25^\circ$$

Шаг 2: Применим формулу суммы косинусов

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставим $A = 85^\circ, B = 35^\circ$:

$$\cos 85^\circ + \cos 35^\circ = 2 \cos\left( \frac{85^\circ + 35^\circ}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{85^\circ — 35^\circ}{2} \right)$$ $$= 2 \cos 60^\circ \cdot \cos 25^\circ$$

Шаг 3: Подставим в выражение

$$2 \cos 60^\circ \cdot \cos 25^\circ — \cos 25^\circ$$

Шаг 4: Используем табличное значение

$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 25^\circ = \cos 25^\circ$$

Шаг 5: Вычитаем

$$\cos 25^\circ — \cos 25^\circ = 0$$

Итог:

$$0=0\text{→ Равенство доказано.}$$