ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\sin {87}^{\circ }-\sin {59}^{\circ }-\sin {93}^{\circ }+\sin {61}^{\circ }=\sin 1^{\circ };$$

б)

$$\cos {115}^{\circ }-\cos {35}^{\circ }+\cos {65}^{\circ }+\cos {25}^{\circ }=\sin 5^{\circ }$$

Доказать, что верно равенство:

а)

$$\sin 87^\circ — \sin 59^\circ — \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ;$$ $$\sin(90^\circ — 3^\circ) — \sin(90^\circ + 3^\circ) + (\sin 61^\circ — \sin 59^\circ) = \sin 1^\circ;$$ $$\cos 3^\circ — \cos 3^\circ + 2 \sin \frac{61^\circ — 59^\circ}{2} \cdot \cos \frac{61^\circ + 59^\circ}{2} = \sin 1^\circ;$$ $$2 \sin 1^\circ \cdot \cos 60^\circ = \sin 1^\circ;$$ $$2 \sin 1^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 1^\circ;$$ $$\sin 1^\circ = \sin 1^\circ;$$

Равенство доказано.

б)

$$\cos 115^\circ — \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ;$$ $$\cos(90^\circ + 25^\circ) + \cos(90^\circ — 25^\circ) + (\cos 25^\circ — \cos 35^\circ) = \sin 5^\circ;$$ $$— \sin 25^\circ + \sin 25^\circ — 2 \sin \frac{25^\circ + 35^\circ}{2} \cdot \sin \frac{25^\circ — 35^\circ}{2} = \sin 5^\circ;$$ $$-2 \sin 30^\circ \cdot \sin(-5^\circ) = \sin 5^\circ;$$ $$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 5^\circ = \sin 5^\circ;$$ $$\sin 5^\circ = \sin 5^\circ;$$

Равенство доказано.

а)

$$\sin 87^\circ — \sin 59^\circ — \sin 93^\circ + \sin 61^\circ = \sin 1^\circ$$

Шаг 1: Группировка слагаемых

Перегруппируем члены:

$$(\sin 87^\circ — \sin 93^\circ) + (\sin 61^\circ — \sin 59^\circ)$$

Шаг 2: Преобразуем первые два слагаемых

Представим через связи между синусом и косинусом:

$$\sin 87^\circ = \cos 3^\circ, \quad \sin 93^\circ = \cos(90^\circ — 93^\circ) = \cos(-3^\circ) = \cos 3^\circ$$

Значит:

$$\sin 87^\circ — \sin 93^\circ = \cos 3^\circ — \cos 3^\circ = 0$$

Шаг 3: Преобразуем вторую разность с помощью формулы разности синусов

$$\sin A — \sin B = 2 \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A + B}{2} \right)$$

Подставляем:

$$\sin 61^\circ — \sin 59^\circ = 2 \sin\left( \frac{61^\circ — 59^\circ}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{61^\circ + 59^\circ}{2} \right)$$ $$= 2 \sin(1^\circ) \cdot \cos(60^\circ)$$

Шаг 4: Используем табличное значение

$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \sin 1^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 1^\circ$$

Шаг 5: Получаем

$$0 + \sin 1^\circ = \sin 1^\circ \Rightarrow \sin 1^\circ = \sin 1^\circ$$

Вывод:

Равенство доказано.

б)

$$\cos 115^\circ — \cos 35^\circ + \cos 65^\circ + \cos 25^\circ = \sin 5^\circ$$

Шаг 1: Представим углы 115° и 65° через 90°

$$\cos 115^\circ = \cos(90^\circ + 25^\circ) = -\sin 25^\circ$$ $$\cos 65^\circ = \cos(90^\circ — 25^\circ) = \sin 25^\circ$$

Значит:

$$\cos 115^\circ + \cos 65^\circ = -\sin 25^\circ + \sin 25^\circ = 0$$

Шаг 2: Группируем оставшиеся слагаемые

$$\cos 25^\circ — \cos 35^\circ$$

Шаг 3: Применяем формулу разности косинусов

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Подставляем:

$$\cos 25^\circ — \cos 35^\circ = -2 \sin\left( \frac{25^\circ + 35^\circ}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{25^\circ — 35^\circ}{2} \right)$$ $$= -2 \sin 30^\circ \cdot \sin(-5^\circ)$$

Шаг 4: Учитываем нечётность синуса

$$\sin(-5^\circ) = -\sin 5^\circ$$ $$\Rightarrow -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin 5^\circ) = \sin 5^\circ$$

Шаг 5: Получаем

$$0 + \sin 5^\circ = \sin 5^\circ \Rightarrow \sin 5^\circ = \sin 5^\circ$$

Вывод:

Равенство доказано.