ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$${\sin }^2(a+\beta )-{\sin }^2(a-\beta )=\sin 2a\cdot \sin 2\beta ;$$

б)

$${\cos }^2(a-\beta )-{\cos }^2(a+\beta )=\sin 2a\cdot \sin 2\beta$$

Доказать тождество:

а)

$$\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$ $$(\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta))(\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$ $$2 \sin \beta \cdot \cos a \cdot 2 \sin a \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$ $$\sin 2a \cdot \sin 2\beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$

Тождество доказано.

б)

$$\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$ $$(\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta))(\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta)) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$ $$-2 \sin a \cdot \sin(-\beta) \cdot 2 \cos a \cdot \cos(-\beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$ $$2 \sin a \cdot \sin \beta \cdot 2 \cos a \cdot \cos \beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$ $$\sin 2a \cdot \sin 2\beta = \sin 2a \cdot \sin 2\beta;$$

Тождество доказано.

а)

$$\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$$

Шаг 1: Узнаём структуру выражения

В левой части разность квадратов:

$$\sin^2(a + \beta) — \sin^2(a — \beta)$$

Это выражение можно представить в виде:

$$(\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)) \cdot (\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta))$$

Применим это разложение:

$$= (\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)) \cdot (\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta))$$

Шаг 2: Используем формулы суммы и разности синусов

Формула разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Формула суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим их к:

• $A = a + \beta$,
• $B = a — \beta$

Шаг 3: Преобразуем каждую часть

Первая скобка:

$$\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta) = 2 \cos\left(\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2}\right)$$

Вычисляем:

• $\frac{(a + \beta) + (a — \beta)}{2} = \frac{2a}{2} = a$
• $\frac{(a + \beta) — (a — \beta)}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta$

Значит:

$$= 2 \cos a \cdot \sin \beta$$

Вторая скобка:

$$\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta) = 2 \sin a \cdot \cos \beta$$

(аналогично, как выше)

Шаг 4: Перемножаем выражения

$$(\sin(a + \beta) — \sin(a — \beta)) \cdot (\sin(a + \beta) + \sin(a — \beta)) = (2 \cos a \cdot \sin \beta) \cdot (2 \sin a \cdot \cos \beta)$$ $$= 4 \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta$$

Шаг 5: Используем формулы двойных углов

$$\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a,\quad \sin 2\beta = 2 \sin \beta \cdot \cos \beta$$

Следовательно:

$$4 \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta = (2 \sin a \cdot \cos a) \cdot (2 \sin \beta \cdot \cos \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$$

Тождество доказано.

б)

$$\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$$

Шаг 1: Это тоже разность квадратов

$$\cos^2(a — \beta) — \cos^2(a + \beta) = (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)) \cdot (\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta))$$

Шаг 2: Используем формулы суммы и разности косинусов

Разность косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Сумма косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Шаг 3: Применим формулы

Первая скобка:

$$\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = -2 \sin\left(\frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2}\right)$$

Считаем:

• $\frac{(a — \beta) + (a + \beta)}{2} = \frac{2a}{2} = a$
• $\frac{(a — \beta) — (a + \beta)}{2} = \frac{-2\beta}{2} = -\beta$

$$= -2 \sin a \cdot \sin(-\beta) = 2 \sin a \cdot \sin \beta$$

(так как $\sin(-\beta) = -\sin \beta$)

Вторая скобка:

$$\cos(a — \beta) + \cos(a + \beta) = 2 \cos a \cdot \cos \beta$$

Шаг 4: Перемножим скобки

$$= (2 \sin a \cdot \sin \beta) \cdot (2 \cos a \cdot \cos \beta) = 4 \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta$$

Шаг 5: Аналогично — используем формулы двойных углов

$$= (2 \sin a \cdot \cos a) \cdot (2 \sin \beta \cdot \cos \beta) = \sin 2a \cdot \sin 2\beta$$

Тождество доказано.