ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите значение, если известно, что $ctg\,4a = 0{,}2$:

$$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a}$$

Вычислить значение, если известно, что $ctg\,4a = 0{,}2$:

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a + \sin 7a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a + \cos 7a} = \frac{(\sin 7a + \sin a) + (\sin 5a + \sin 3a)}{(\cos 7a + \cos a) + (\cos 5a + \cos 3a)} =$$ $$= \frac{2 \sin 4a \cdot \cos 3a + 2 \sin 4a \cdot \cos a}{2 \cos 4a \cdot \cos 3a + 2 \cos 4a \cdot \cos a} = \frac{2 \sin 4a \cdot (\cos 3a + \cos a)}{2 \cos 4a \cdot (\cos 3a + \cos a)} = tg\,4a =$$ $$= \frac{1}{ctg\,4a} = \frac{1}{0{,}2} = \frac{10}{2} = 5;$$

Ответ: 5.

Вычислить значение выражения:

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a + \sin 7a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a + \cos 7a}$$

если известно, что:

$$\cot 4a = 0{,}2$$

Шаг 1. Группировка слагаемых

Группируем синусы и косинусы парами по симметричным аргументам:

$$\frac{(\sin a + \sin 7a) + (\sin 3a + \sin 5a)}{(\cos a + \cos 7a) + (\cos 3a + \cos 5a)}$$

Шаг 2. Используем формулы суммы синусов и косинусов

Формулы приведения:

$$\sin x + \sin y = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x — y}{2} \right)$$ $$\cos x + \cos y = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x — y}{2} \right)$$

Применим к каждой паре:

1. $\sin a + \sin 7a$:

• $\frac{a + 7a}{2} = 4a$,
• $\frac{7a — a}{2} = 3a$

Значит:

$$\sin a + \sin 7a = 2 \sin(4a) \cos(3a)$$

2. $\sin 3a + \sin 5a$:

• $\frac{3a + 5a}{2} = 4a$
• $\frac{5a — 3a}{2} = a$

$$\sin 3a + \sin 5a = 2 \sin(4a) \cos(a)$$

3. $\cos a + \cos 7a$:

• $\frac{a + 7a}{2} = 4a$,
• $\frac{7a — a}{2} = 3a$

$$\cos a + \cos 7a = 2 \cos(4a) \cos(3a)$$

4. $\cos 3a + \cos 5a$:

• $\frac{3a + 5a}{2} = 4a$,
• $\frac{5a — 3a}{2} = a$

$$\cos 3a + \cos 5a = 2 \cos(4a) \cos(a)$$

Шаг 3. Подставим всё в исходное выражение

Подставляем всё, что получили:

Числитель:

$$2 \sin(4a) \cos(3a) + 2 \sin(4a) \cos(a) = 2 \sin(4a) (\cos(3a) + \cos(a))$$

Знаменатель:

$$2 \cos(4a) \cos(3a) + 2 \cos(4a) \cos(a) = 2 \cos(4a) (\cos(3a) + \cos(a))$$

Теперь выражение становится:

$$\frac{2 \sin(4a)(\cos(3a) + \cos(a))}{2 \cos(4a)(\cos(3a) + \cos(a))}$$

Шаг 4. Сокращение

Общий множитель $(\cos(3a) + \cos(a))$ и 2 в числителе и знаменателе можно сократить:

$$= \frac{\sin(4a)}{\cos(4a)} = \tan(4a)$$

Шаг 5. Переход к тангенсу через котангенс

По условию:

$$\cot(4a) = 0{,}2$$

А значит:

$$\tan(4a) = \frac{1}{\cot(4a)} = \frac{1}{0{,}2}$$

Шаг 6. Деление

$$\frac{1}{0{,}2} = \frac{1}{\frac{1}{5}} = 5$$

Ответ:

$$\boxed{5}$$