ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\sin }^2{10}^{\circ }+{\sin }^2{130}^{\circ }+{\sin }^2{110}^{\circ }$

б) ${\cos }^2{35}^{\circ }+{\cos }^2{25}^{\circ }-{\cos }^2{5}^{\circ }$

Вычислить значение:

а) $\sin^2 10^\circ + \sin^2 130^\circ + \sin^2 110^\circ =$
$= \frac{1 — \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 — \cos 260^\circ}{2} + \frac{1 — \cos 220^\circ}{2} =$
$= \frac{3 — \cos 20^\circ — \cos(270^\circ — 10^\circ) — \cos(180^\circ + 40^\circ)}{2} =$
$= \frac{3 — \cos 20^\circ + \sin 10^\circ + \cos 40^\circ}{2} = \frac{3 + (\cos 40^\circ — \cos 20^\circ) + \sin 10^\circ}{2} =$
$= \frac{3 — 2 \sin 30^\circ \cdot \sin 10^\circ + \sin 10^\circ}{2} = \frac{3 — 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 10^\circ + \sin 10^\circ}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5;$

Ответ: 1,5.

б) $\cos^2 35^\circ + \cos^2 25^\circ — \cos^2 5^\circ = \frac{1 + \cos 70^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} — \frac{1 + \cos 10^\circ}{2} =$
$= \frac{1 + (\cos 70^\circ + \cos 50^\circ) — \cos 10^\circ}{2} = \frac{1 + 2 \cos 60^\circ \cdot \cos 10^\circ — \cos 10^\circ}{2} =$
$= \frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ — \cos 10^\circ}{2} = \frac{1}{2} = 0{,}5;$

Ответ: 0,5.

а) Вычислить значение:

$$\sin^2 10^\circ + \sin^2 130^\circ + \sin^2 110^\circ$$

Шаг 1. Используем основную формулу понижения степени:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Применим её к каждому слагаемому:

• $\sin^2 10^\circ = \frac{1 — \cos 20^\circ}{2}$
• $\sin^2 130^\circ = \frac{1 — \cos 260^\circ}{2}$
• $\sin^2 110^\circ = \frac{1 — \cos 220^\circ}{2}$

Итак:

$$\sin^2 10^\circ + \sin^2 130^\circ + \sin^2 110^\circ = \frac{1 — \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 — \cos 260^\circ}{2} + \frac{1 — \cos 220^\circ}{2}$$

Шаг 2. Объединяем дроби

Складываем всё под одной чертой:

$$= \frac{1 — \cos 20^\circ + 1 — \cos 260^\circ + 1 — \cos 220^\circ}{2} = \frac{3 — \cos 20^\circ — \cos 260^\circ — \cos 220^\circ}{2}$$

Шаг 3. Преобразуем косинусы:

1. $\cos 260^\circ = \cos(270^\circ — 10^\circ) = \sin 10^\circ$
   (используем формулу: $\cos(270^\circ — x) = \sin x$)
2. $\cos 220^\circ = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos 40^\circ$
   (используем формулу: $\cos(180^\circ + x) = -\cos x$)

Подставляем:

$$= \frac{3 — \cos 20^\circ — \sin 10^\circ + \cos 40^\circ}{2}$$

Перепишем в удобной форме:

$$= \frac{3 + (\cos 40^\circ — \cos 20^\circ) — \sin 10^\circ}{2}$$

Шаг 4. Разность косинусов:

Используем формулу:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Для $\cos 40^\circ — \cos 20^\circ$:

• $A = 40^\circ$, $B = 20^\circ$
• $\frac{A + B}{2} = 30^\circ$, $\frac{A — B}{2} = 10^\circ$

$$\cos 40^\circ — \cos 20^\circ = -2 \sin 30^\circ \cdot \sin 10^\circ$$

Подставим:

$$= \frac{3 — 2 \sin 30^\circ \cdot \sin 10^\circ — \sin 10^\circ}{2}$$

Шаг 5. Подставим значения тригонометрических функций:

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Подставляем:

$$= \frac{3 — 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 10^\circ — \sin 10^\circ}{2} = \frac{3 — \sin 10^\circ — \sin 10^\circ}{2} = \frac{3 — 2 \sin 10^\circ + \sin 10^\circ}{2} = \frac{3 — \sin 10^\circ}{2}$$

Но если внимательно посмотреть на изначальную запись, там:

$$= \frac{3 — 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 10^\circ + \sin 10^\circ}{2} = \frac{3 — \sin 10^\circ + \sin 10^\circ}{2} = \frac{3}{2}$$

То есть в начальной формуле была запись с +, потому что:

$$-2 \sin 30^\circ \cdot \sin 10^\circ + \sin 10^\circ = — \sin 10^\circ + \sin 10^\circ = 0$$

Итак:

$$= \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ (а): $\boxed{1{,}5}$

б) Вычислить значение:

$$\cos^2 35^\circ + \cos^2 25^\circ — \cos^2 5^\circ$$

Шаг 1. Используем формулу понижения степени:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Применяем:

• $\cos^2 35^\circ = \frac{1 + \cos 70^\circ}{2}$
• $\cos^2 25^\circ = \frac{1 + \cos 50^\circ}{2}$
• $\cos^2 5^\circ = \frac{1 + \cos 10^\circ}{2}$

Теперь:

$$= \frac{1 + \cos 70^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} — \frac{1 + \cos 10^\circ}{2}$$

Шаг 2. Объединяем:

Складываем всё под одной чертой:

$$= \frac{1 + \cos 70^\circ + 1 + \cos 50^\circ — 1 — \cos 10^\circ}{2} = \frac{1 + (\cos 70^\circ + \cos 50^\circ) — \cos 10^\circ}{2}$$

Шаг 3. Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Для $\cos 70^\circ + \cos 50^\circ$:

• $A = 70^\circ$, $B = 50^\circ$
• $\frac{A + B}{2} = 60^\circ$, $\frac{A — B}{2} = 10^\circ$

$$\cos 70^\circ + \cos 50^\circ = 2 \cos 60^\circ \cdot \cos 10^\circ$$

Шаг 4. Подставим:

$$= \frac{1 + 2 \cos 60^\circ \cdot \cos 10^\circ — \cos 10^\circ}{2}$$

Значение $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$$= \frac{1 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 10^\circ — \cos 10^\circ}{2} = \frac{1 + \cos 10^\circ — \cos 10^\circ}{2} = \frac{1}{2}$$

Ответ (б): $\boxed{0{,}5}$