ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\cos x + \cos 3x = 0$;

б) $\sin 12x + \sin 4x = 0$;

в) $\cos x = \cos 5x$;

г) $\sin 3x = \sin 17x$

Решить уравнение:

а) $\cos x + \cos 3x = 0$;
$\cos 3x + \cos x = 0$;
$2 \cos 2x \cdot \cos x = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 2x = 0$;
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{2} + \pi n$.

б) $\sin 12x + \sin 4x = 0$;
$2 \sin 8x \cdot \cos 4x = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 8x = 0$;
$8x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{8}$;

Второе уравнение:
$\cos 4x = 0$;
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

Ответ: $\frac{\pi n}{8}$, $\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{4}$.

в) $\cos x = \cos 5x$;
$\cos 5x — \cos x = 0$;
$-2 \sin 3x \cdot \sin 2x = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 3x = 0$;
$3x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{3}$;

Второе уравнение:
$\sin 2x = 0$;
$2x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi n}{3}; \frac{\pi n}{2}$.

г) $\sin 3x = \sin 17x$;
$\sin 17x — \sin 3x = 0$;
$2 \sin 7x \cdot \cos 10x = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 7x = 0$;
$7x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{7}$;

Второе уравнение:
$\cos 10x = 0$;
$10x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$;

Ответ: $\frac{\pi n}{7}; \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$.

а) Решить уравнение:

$$\cos x + \cos 3x = 0$$

Шаг 1. Используем формулу суммы косинусов

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим к $\cos x + \cos 3x$:

• $A = 3x$, $B = x$
• $\frac{A + B}{2} = 2x$, $\frac{A — B}{2} = x$

$$\cos x + \cos 3x = 2 \cos 2x \cdot \cos x$$

Уравнение становится:

$$2 \cos 2x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 2. Разделим на множители:

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

Первый случай:

$$\cos 2x = 0$$

Общее решение:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Второй случай:

$$\cos x = 0$$

Общее решение:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n}$$

б) Решить уравнение:

$$\sin 12x + \sin 4x = 0$$

Шаг 1. Используем формулу суммы синусов

Формула:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим к $\sin 12x + \sin 4x$:

• $A = 12x$, $B = 4x$
• $\frac{A + B}{2} = 8x$, $\frac{A — B}{2} = 4x$

$$\sin 12x + \sin 4x = 2 \sin 8x \cdot \cos 4x$$

Значит:

$$2 \sin 8x \cdot \cos 4x = 0$$

Шаг 2. Разделим на множители

Первый случай:

$$\sin 8x = 0$$

Общее решение:

$$8x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{8}$$

Второй случай:

$$\cos 4x = 0$$

Общее решение:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ (б):

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{8}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}}$$

в) Решить уравнение:

$$\cos x = \cos 5x$$

Шаг 1. Переносим всё в одну часть

$$\cos x — \cos 5x = 0$$

Используем формулу:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 5x$, $B = x$
• $\frac{A + B}{2} = 3x$, $\frac{A — B}{2} = 2x$

$$\cos x — \cos 5x = -2 \sin 3x \cdot \sin 2x$$

Тогда:

$$-2 \sin 3x \cdot \sin 2x = 0$$

Шаг 2. Приравниваем множители к нулю

Первый случай:

$$\sin 3x = 0 \Rightarrow 3x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}$$

Второй случай:

$$\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Ответ (в):

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{3}; \quad x = \frac{\pi n}{2}}$$

г) Решить уравнение:

$$\sin 3x = \sin 17x$$

Шаг 1. Переносим всё в одну часть

$$\sin 3x — \sin 17x = 0$$

Формула разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 17x$, $B = 3x$
• $\frac{A + B}{2} = 10x$, $\frac{A — B}{2} = 7x$

$$\sin 3x — \sin 17x = 2 \cos 10x \cdot \sin 7x$$

Тогда:

$$2 \cos 10x \cdot \sin 7x = 0$$

Шаг 2. Приравниваем множители к нулю

Первое уравнение:

$$\sin 7x = 0 \Rightarrow 7x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{7}$$

Второе уравнение:

$$\cos 10x = 0 \Rightarrow 10x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$$

Ответ (г):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi n}{7};x=\frac{\pi }{20}+\frac{\pi n}{10}}}$$