ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) $\sin x + \sin 2x — \sin 3x = 0$;

б) $\cos 3x — \cos 5x = \sin 4x$

Решить уравнение:

a) $\sin x + \sin 2x — \sin 3x = 0$;
$\sin 2x — (\sin 3x — \sin x) = 0$;
$2 \sin x \cdot \cos x — 2 \sin x \cdot \cos 2x = 0$;
$-2 \sin x \cdot (\cos 2x — \cos x) = 0$;
$-2 \sin x \cdot \left(-2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}\right) = 0$;
$\sin \frac{x}{2} \cdot \sin x \cdot \sin \frac{3x}{2} = 0$;

Первое уравнение:
$\sin \frac{x}{2} = 0$;
$\frac{x}{2} = \pi n$;
$x = 2\pi n$;

Второе уравнение:
$\sin x = 0$;
$x = \pi n$;

Третье уравнение:
$\sin \frac{3x}{2} = 0$;
$\frac{3x}{2} = \pi n$;
$x = \frac{2\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{2\pi}{3};\ \pi n$.

б) $\cos 3x — \cos 5x = \sin 4x$;
$\sin 4x + (\cos 5x — \cos 3x) = 0$;
$\sin 4x — 2 \sin 4x \cdot \sin x = 0$;
$\sin 4x \cdot (1 — 2 \sin x) = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 4x = 0$;
$4x = \pi n$;
$x = \frac{\pi n}{4}$;

Второе уравнение:
$1 — 2 \sin x = 0$;
$\sin x = \frac{1}{2}$;
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi n}{4};\ (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

а)

Решить уравнение:

$$\sin x + \sin 2x — \sin 3x = 0$$

Шаг 1. Перестановка слагаемых для удобства

$$\sin x + \sin 2x — \sin 3x = 0 \Rightarrow \sin 2x — (\sin 3x — \sin x) = 0$$

Шаг 2. Преобразуем разность синусов

Используем формулу:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим к $\sin 3x — \sin x$:

• $A = 3x$, $B = x$
• $\frac{A + B}{2} = 2x$
• $\frac{A — B}{2} = x$

$$\sin 3x — \sin x = 2 \cos 2x \cdot \sin x$$

Теперь уравнение:

$$\sin 2x — 2 \cos 2x \cdot \sin x = 0$$

Шаг 3. Раскроем $\sin 2x$ через двойной угол

Формула:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

Подставим:

$$2 \sin x \cdot \cos x — 2 \cos 2x \cdot \sin x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$2 \sin x (\cos x — \cos 2x) = 0$$

Шаг 4. Переставим скобки и вынесем минус

$$-2 \sin x (\cos 2x — \cos x) = 0$$

Теперь снова воспользуемся формулой разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим к $\cos 2x — \cos x$:

• $A = 2x$, $B = x$
• $\frac{A + B}{2} = \frac{3x}{2}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{x}{2}$

Тогда:

$$\cos 2x — \cos x = -2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}$$

Подставим:

$$-2 \sin x \cdot (-2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}) = 0$$ $$4 \sin x \cdot \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} = 0$$

Шаг 5. Уравнение произведения:

$$\sin x \cdot \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1) $\sin x = 0$

$$x = \pi n$$

2) $\sin \frac{3x}{2} = 0$

$$\frac{3x}{2} = \pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3}$$

3) $\sin \frac{x}{2} = 0$

$$\frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$$

Теперь соберём все решения:

• $x = \pi n$
• $x = \frac{2\pi n}{3}$
• $x = 2\pi n$

Поскольку все $x = 2\pi n$ уже входят в $x = \pi n$, а те в свою очередь входят в $x = \frac{2\pi n}{3}$ при определённых $n$, финальный ответ можно записать как:

Ответ (а):

$$\boxed{x = \frac{2\pi}{3};\quad x = \pi n}$$

б)

Решить уравнение:

$$\cos 3x — \cos 5x = \sin 4x$$

Шаг 1. Переносим всё в одну часть:

$$\sin 4x + \cos 5x — \cos 3x = 0$$

Шаг 2. Преобразуем разность косинусов

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 5x$, $B = 3x$
• $\frac{A + B}{2} = 4x$
• $\frac{A — B}{2} = x$

Тогда:

$$\cos 5x — \cos 3x = -2 \sin 4x \cdot \sin x$$

Подставим:

$$\sin 4x + (-2 \sin 4x \cdot \sin x) = 0 \Rightarrow \sin 4x \cdot (1 — 2 \sin x) = 0$$

Шаг 3. Разделим на множители

$$\sin 4x = 0 \quad \text{или} \quad 1 — 2 \sin x = 0$$

1) $\sin 4x = 0$

$$4x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}$$

2) $1 — 2 \sin x = 0$

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Решения:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin\left( \frac{1}{2} \right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

(обобщённая формула для синуса)

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi n}{4};x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n}}$$