ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $1 + \cos 6x = 2 \sin^2 5x$;

б) $\cos^2 2x = \cos^2 4x$;

в) $\sin^2 \dfrac{x}{2} = \cos^2 \dfrac{7x}{2}$;

г) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 1$

Решить уравнение:

а) $1 + \cos 6x = 2 \sin^2 5x$;
$1 + \cos 6x = 2 \cdot \dfrac{1 — \cos 10x}{2}$;
$1 + \cos 6x = 1 — \cos 10x$;
$\cos 10x + \cos 6x = 0$;
$2 \cos 8x \cdot \cos 2x = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 8x = 0$;
$8x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{\pi n}{8}$;

Второе уравнение:
$\cos 2x = 0$;
$2x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\dfrac{\pi}{16} + \dfrac{\pi n}{8};\ \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{2}$.

б) $\cos^2 2x = \cos^2 4x$;
$\dfrac{1 + \cos 4x}{2} = \dfrac{1 + \cos 8x}{2}$;
$1 + \cos 4x = 1 + \cos 8x$;
$\cos 8x — \cos 4x = 0$;
$-2 \sin 6x \cdot \sin 2x = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 6x = 0$;
$6x = \pi n$;
$x = \dfrac{\pi n}{6}$;

Второе уравнение:
$\sin 2x = 0$;
$2x = \pi n$;
$x = \dfrac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\dfrac{\pi n}{6}$.

в) $\sin^2 \dfrac{x}{2} = \cos^2 \dfrac{7x}{2}$;
$\dfrac{1 — \cos x}{2} = \dfrac{1 + \cos 7x}{2}$;
$1 — \cos x = 1 + \cos 7x$;
$\cos 7x + \cos x = 0$;
$2 \cos 4x \cdot \cos 3x = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 4x = 0$;
$4x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}$;

Второе уравнение:
$\cos 3x = 0$;
$3x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi n}{3}$;

Ответ: $\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4};\ \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi n}{3}$.

г) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 1$;
$\dfrac{1 — \cos 2x}{2} + \dfrac{1 — \cos 6x}{2} = \dfrac{2}{2}$;
$1 — \cos 2x + 1 — \cos 6x = 2$;
$\cos 6x + \cos 2x = 0$;
$2 \cos 4x \cdot \cos 2x = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 4x = 0$;
$4x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4}$;

Второе уравнение:
$\cos 2x = 0$;
$2x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi n}{4};\ \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi n}{2}$.

а) Уравнение:

$$1 + \cos 6x = 2 \sin^2 5x$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть через формулу понижения степени

$$\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2}$$

Применим к $\sin^2 5x$:

$$2 \sin^2 5x = 2 \cdot \frac{1 — \cos 10x}{2} = 1 — \cos 10x$$

Тогда уравнение:

$$1 + \cos 6x = 1 — \cos 10x$$

Шаг 2. Упростим уравнение

$$1 + \cos 6x = 1 — \cos 10x \Rightarrow \cos 6x + \cos 10x = 0$$

Шаг 3. Используем формулу суммы косинусов

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 10x$, $B = 6x$
• $\frac{A + B}{2} = 8x$
• $\frac{A — B}{2} = 2x$

Получаем:

$$\cos 10x + \cos 6x = 2 \cos 8x \cdot \cos 2x = 0$$

Шаг 4. Решаем уравнение произведения

$$2 \cos 8x \cdot \cos 2x = 0$$

Разделим на 2 и получим:

$$\cos 8x \cdot \cos 2x = 0$$

Первое уравнение: $\cos 8x = 0$

$$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}$$

Второе уравнение: $\cos 2x = 0$

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8};\quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

б) Уравнение:

$$\cos^2 2x = \cos^2 4x$$

Шаг 1. Преобразуем обе стороны через формулу:

$$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

Тогда:

$$\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 8x}{2}\Rightarrow 1+\cos 4x=1+\cos 8x\Rightarrow \cos 4x=\cos 8x\Rightarrow$$

$$\frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1 + \cos 8x}{2} \Rightarrow 1 + \cos 4x = 1 + \cos 8x \Rightarrow \cos 4x = \cos 8x \Rightarrow \cos 8x — \cos 4x = 0$$

Шаг 2. Используем формулу разности косинусов

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 8x$, $B = 4x$
• $\frac{A + B}{2} = 6x$, $\frac{A — B}{2} = 2x$

$$\cos 8x — \cos 4x = -2 \sin 6x \cdot \sin 2x = 0$$

Шаг 3. Решаем произведение:

$$-2 \sin 6x \cdot \sin 2x = 0$$

Первое уравнение: $\sin 6x = 0$

$$6x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{6}$$

Второе уравнение: $\sin 2x = 0$

$$2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

Так как $\frac{\pi n}{2}$ входит в $\frac{\pi n}{6}$ при чётных $n$, то общее множество решений уже покрывается первой формулой.

Ответ (б):

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{6}}$$

в) Уравнение:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{7x}{2}$$

Шаг 1. Преобразуем обе стороны:

$$\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2},\quad \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$ $$\frac{1 — \cos x}{2} = \frac{1 + \cos 7x}{2} \Rightarrow 1 — \cos x = 1 + \cos 7x \Rightarrow \cos 7x + \cos x = 0$$

Шаг 2. Сумма косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 7x$, $B = x$
• $\frac{A + B}{2} = 4x$, $\frac{A — B}{2} = 3x$

$$\cos 7x + \cos x = 2 \cos 4x \cdot \cos 3x = 0$$

Шаг 3. Решим уравнение

$$\cos 4x \cdot \cos 3x = 0$$

$\cos 4x = 0$

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

$\cos 3x = 0$

$$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ (в):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};\quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}}$$

г) Уравнение:

$$\sin^2 x + \sin^2 3x = 1$$

Шаг 1. Формулы понижения степени

$${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$$

$$\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2}$$ $$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=1\Rightarrow \frac{2-\cos 2x-\cos 6x}{2}=1\Rightarrow$$

$$\frac{1 — \cos 2x}{2} + \frac{1 — \cos 6x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{2 — \cos 2x — \cos 6x}{2} = 1 \Rightarrow 2 — \cos 2x — \cos 6x = 2 \Rightarrow \cos 2x + \cos 6x = 0$$

Шаг 2. Сумма косинусов:

$$\cos 2x + \cos 6x = 2 \cos 4x \cdot \cos 2x = 0$$

Шаг 3. Решаем уравнение

$$\cos 4x \cdot \cos 2x = 0$$

$\cos 4x = 0$

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

$\cos 2x = 0$

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ (г):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{4};x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}}}$$