ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $2 \sin^2 x + \cos 5x = 1$;

б) $2 \sin^2 3x — 1 = \cos^2 4x — \sin^2 4x$

Решить уравнение:

а) $2 \sin^2 x + \cos 5x = 1$;

$2 \cdot \frac{1 — \cos 2x}{2} + \cos 5x = 1$;

$1 — \cos 2x + \cos 5x = 1$;

$\cos 5x — \cos 2x = 0$;

$-2 \sin \frac{7x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = 0$;

Первое уравнение:

$\sin \frac{7x}{2} = 0$;

$\frac{7x}{2} = \pi n$;

$x = \frac{2\pi n}{7}$;

Второе уравнение:

$\sin \frac{3x}{2} = 0$;

$\frac{3x}{2} = \pi n$;

$x = \frac{2\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{2\pi n}{7};\ \frac{2\pi n}{3}$.

б) $2 \sin^2 3x — 1 = \cos^2 4x — \sin^2 4x$;

$2 \cdot \frac{1 — \cos 6x}{2} — 1 = \cos 8x$;

$1 — \cos 6x — 1 = \cos 8x$;

$\cos 8x + \cos 6x = 0$;

$2 \cos 7x \cdot \cos x = 0$;

Первое уравнение:

$\cos 7x = 0$;

$7x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$;

Второе уравнение:

$\cos x = 0$;

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$, $\frac{\pi }{2}+\pi n$.

а) Уравнение:

$$2 \sin^2 x + \cos 5x = 1$$

Шаг 1. Преобразуем $\sin^2 x$ через понижение степени:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} \Rightarrow 2 \sin^2 x = 1 — \cos 2x$$

Подставим:

$$1 — \cos 2x + \cos 5x = 1$$

Шаг 2. Сократим 1 с правой частью:

$$— \cos 2x + \cos 5x = 0 \Rightarrow \cos 5x — \cos 2x = 0$$

Шаг 3. Применим формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 5x$, $B = 2x$
• $\frac{A + B}{2} = \frac{7x}{2}$, $\frac{A — B}{2} = \frac{3x}{2}$

Подставим:

$$\cos 5x — \cos 2x = -2 \sin \frac{7x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = 0$$

Шаг 4. Приравниваем произведение к нулю:

$$-2 \sin \frac{7x}{2} \cdot \sin \frac{3x}{2} = 0$$

Решим каждое по отдельности:

1-е уравнение: $\sin \frac{7x}{2} = 0$

$$\frac{7x}{2} = \pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{7}$$

2-е уравнение: $\sin \frac{3x}{2} = 0$

$$\frac{3x}{2} = \pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ (а):

$$\boxed{x = \frac{2\pi n}{7}; \quad x = \frac{2\pi n}{3}}$$

б) Уравнение:

$$2 \sin^2 3x — 1 = \cos^2 4x — \sin^2 4x$$

Шаг 1. Преобразуем левую часть:

$$2{\sin }^{2}3x=2\cdot \frac{1-\cos 6x}{2}=1-\cos 6x\Rightarrow$$

$$2 \sin^2 3x = 2 \cdot \frac{1 — \cos 6x}{2} = 1 — \cos 6x \Rightarrow \text{левая часть: } 1 — \cos 6x — 1 = -\cos 6x$$

Шаг 2. Преобразуем правую часть:

$$\cos^2 A — \sin^2 A = \cos 2A \Rightarrow \cos^2 4x — \sin^2 4x = \cos 8x$$

Шаг 3. Получаем уравнение:

$$— \cos 6x = \cos 8x \Rightarrow \cos 6x + \cos 8x = 0$$

Шаг 4. Сумма косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = 6x$, $B = 8x$
• $\frac{A + B}{2} = 7x$, $\frac{A — B}{2} = -x$

$$\cos 6x + \cos 8x = 2 \cos 7x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 5. Решим:

$$2 \cos 7x \cdot \cos x = 0 \Rightarrow \cos 7x \cdot \cos x = 0$$

1-е уравнение: $\cos 7x = 0$

$$7x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}$$

2-е уравнение: $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Ответ (б):

$$\boxed{x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n}$$