ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) $\sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0$;

б) $\sin 5x + \sin x + 2 \sin^2 x = 1$

Решить уравнение:

a) $\sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0$;
$(\sin 3x + \sin x) + (\cos 3x + \cos x) = 0$;
$2 \sin 2x \cdot \cos x + 2 \cos 2x \cdot \cos x = 0$;
$2 \cos x \cdot (\sin 2x + \cos 2x) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:
$\sin 2x + \cos 2x = 0 \quad | : \cos 2x$;
$\operatorname{tg} 2x + 1 = 0$;
$\operatorname{tg} 2x = -1$;
$2x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \; -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

б) $\sin 5x + \sin x + 2 \sin^2 x = 1$;
$(\sin 5x + \sin x) + 2 \cdot \frac{1 — \cos 2x}{2} = 1$;
$2 \sin 3x \cdot \cos 2x + 1 — \cos 2x = 1$;
$\cos 2x \cdot (2 \sin 3x — 1) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 2x = 0$;
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:
$2 \sin 3x — 1 = 0$;
$\sin 3x = \frac{1}{2}$;
$3x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \; (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$.

а)

$$\sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0$$

Шаг 1. Группируем слагаемые:

$$(\sin x + \sin 3x) + (\cos x + \cos 3x) = 0$$

Шаг 2. Применяем формулы суммы синусов и косинусов:

Формула суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим для: $\sin x + \sin 3x$

$$\sin x + \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{x + 3x}{2}\right) \cos\left(\frac{x — 3x}{2}\right) = 2 \sin 2x \cdot \cos(-x) = 2 \sin 2x \cdot \cos x$$

(заметим, что $\cos(-x) = \cos x$)

Аналогично, для: $\cos x + \cos 3x$

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$ $$\cos x + \cos 3x = 2 \cos 2x \cdot \cos x$$

Шаг 3. Подставим полученные выражения:

$$2 \sin 2x \cdot \cos x + 2 \cos 2x \cdot \cos x = 0$$

Вынесем общий множитель $2 \cos x$:

$$2 \cos x \cdot (\sin 2x + \cos 2x) = 0$$

Шаг 4. Произведение равно нулю ⇒ хотя бы один множитель равен нулю

Первое уравнение:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x + \cos 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = -\cos 2x$$

Разделим обе части на $\cos 2x$ (ОДЗ: $\cos 2x \ne 0$):

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -1 \Rightarrow \tg 2x = -1$$

Шаг 5. Решаем:

$$\tg 2x = -1 \Rightarrow 2x = \arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 6. Объединяем решения:

• Из первого случая: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
• Из второго случая: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n;\quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}},\quad n \in \mathbb{Z}$$

б)

$$\sin 5x + \sin x + 2 \sin^2 x = 1$$

Шаг 1. Преобразуем синусы по формуле суммы:

Группируем:

$$(\sin 5x + \sin x) + 2 \sin^2 x = 1$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$ $$\sin 5x + \sin x = 2 \sin 3x \cdot \cos 2x$$

Шаг 2. Преобразуем $2 \sin^2 x$ с помощью формулы понижения степени:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} \Rightarrow 2 \sin^2 x = 1 — \cos 2x$$

Шаг 3. Подставим все в исходное уравнение:

$$2 \sin 3x \cdot \cos 2x + 1 — \cos 2x = 1$$

Шаг 4. Приведем подобные:

$$(2 \sin 3x — 1) \cdot \cos 2x + 1 = 1 \Rightarrow (2 \sin 3x — 1) \cdot \cos 2x = 0$$

Шаг 5. Произведение равно нулю ⇒ хотя бы один множитель равен нулю

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Второе уравнение:

$$2 \sin 3x — 1 = 0 \Rightarrow \sin 3x = \frac{1}{2}$$

Шаг 6. Решаем $\sin 3x = \frac{1}{2}$:

Общий вид решения:

$$3x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2};x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{18}+\frac{\pi n}{3}}},n\in \mathbb{Z}$$