ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$:

a) $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$;

б) $2 \cos^2 x — 1 = \sin 3x$

Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$:

a) $\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x$;

$(\sin 6x + \sin 2x) — \cos 2x = 0$;

$2 \sin 4x \cdot \cos 2x — \cos 2x = 0$;

$\cos 2x \cdot (2 \sin 4x — 1) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos 2x = 0$;

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:

$2 \sin 4x — 1 = 0$;

$\sin 4x = \frac{1}{2}$;

$4x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$;

Корни на заданном отрезке:

$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{4}$;

$x_2 = (-1)^0 \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi \cdot 0}{4} = \frac{\pi}{24}$;

$x_3 = (-1)^1 \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi \cdot 1}{4} = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}$;

Ответ: 3 корня.

б) $2 \cos^2 x — 1 = \sin 3x$;

$2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} — 1 — \sin 3x = 0$;

$1 + \cos 2x — 1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = 0$;

$\cos 2x + \cos \left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = 0$;

$2 \cos \left(\frac{5x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{-x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$\cos \left(\frac{5x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

Первое уравнение:

$\cos \left(\frac{5x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$\frac{5x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$;

Второе уравнение:

$\cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Корни на заданном отрезке:

$x_1 = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi \cdot 0}{5} = \frac{\pi}{10}$;

$x_2 = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi \cdot 1}{5} = \frac{\pi}{10} + \frac{4\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$;

Ответ: 2 корня.

а)

Уравнение:

$$\sin 2x + \sin 6x = \cos 2x, \quad x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$$

Шаг 1. Переносим всё в одну часть уравнения:

$$\sin 2x + \sin 6x — \cos 2x = 0$$

Шаг 2. Группируем:

$$(\sin 6x + \sin 2x) — \cos 2x = 0$$

Шаг 3. Применим формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Пусть $A = 6x, \; B = 2x$

$$\sin 6x + \sin 2x = 2 \sin\left(\frac{6x + 2x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x — 2x}{2}\right) = 2 \sin 4x \cdot \cos 2x$$

Шаг 4. Подставим обратно:

$$2 \sin 4x \cdot \cos 2x — \cos 2x = 0$$

Шаг 5. Вынесем $\cos 2x$ за скобки:

$$\cos 2x (2 \sin 4x — 1) = 0$$

Шаг 6. Произведение равно нулю ⇒ один из множителей равен 0

Случай 1:

$$\cos 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ находим такие $x$, при которых это выполняется:

Пробуем $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{4} \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \quad \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{4}$$

Следующее значение при $n = 1$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2} \Rightarrow \text{не подходит}$$

Один корень: $x_1 = \frac{\pi}{4}$

Случай 2:

$$2 \sin 4x — 1 = 0 \Rightarrow \sin 4x = \frac{1}{2}$$

Шаг 7. Решим $\sin 4x = \frac{1}{2}$:

Общее решение:

$$4x = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$$

Шаг 8. Подставим значения $n$, чтобы найти корни в $[0; \frac{\pi}{2}]$:

Для $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{24} \approx 0.1309 < \frac{\pi}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{\pi}{24}$$

Для $n = 1$:

$$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi — \pi}{24} = \frac{5\pi}{24} \approx 0.6545 < \frac{\pi}{2} \Rightarrow x_3 = \frac{5\pi}{24}$$

Для $n = 2$:

$$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{13\pi}{24} \approx 1.7017 > \frac{\pi}{2} \Rightarrow \text{не подходит}$$

Отсюда:

• $x_2 = \frac{\pi}{24}$
• $x_3 = \frac{5\pi}{24}$

Ответ к а):

$$\boxed{\text{3 корня: } x = \frac{\pi}{4}, \; \frac{\pi}{24}, \; \frac{5\pi}{24}}$$

б)

Уравнение:

$$2 \cos^2 x — 1 = \sin 3x, \quad x \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$$

Шаг 1. Преобразуем левую часть с помощью формулы двойного угла:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \Rightarrow 2 \cos^2 x — 1 = (1 + \cos 2x) — 1 = \cos 2x$$

Шаг 2. Преобразуем правую часть:

Используем формулу:

$$\sin A = \cos\left(\frac{\pi}{2} — A\right) \Rightarrow \sin 3x = \cos\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right)$$

Переход:

$$\cos 2x = \sin 3x = \cos\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right)$$

Получаем:

$$\cos 2x — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right) = 0$$

Шаг 3. Разность косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Пусть:

• $A = 2x$
• $B = \frac{\pi}{2} — 3x$

Тогда:

$$\cos 2x — \cos\left(\frac{\pi}{2} — 3x\right) = -2 \sin\left(\frac{2x + \frac{\pi}{2} — 3x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{2x — (\frac{\pi}{2} — 3x)}{2}\right)$$

Считаем:

• $\frac{2x + \frac{\pi}{2} — 3x}{2} = \frac{-x + \frac{\pi}{2}}{2} = -\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$
• $\frac{2x — \frac{\pi}{2} + 3x}{2} = \frac{5x — \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4}$

Подставляем:

$$-2 \sin\left(-\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 0$$

Знак можно убрать (ноль не зависит от него):

$$\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 0$$

Шаг 4. Найдём нули произведения:

Первое уравнение:

$$\sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Пробуем $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{2} \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{2}$$

Следующее значение: $x = \frac{5\pi}{2} > \frac{\pi}{2}$, не подходит

Второе уравнение:

$$\sin (\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{4})=0\Rightarrow \frac{5x}{2}-\frac{\pi }{4}=\pi n\Rightarrow \frac{5x}{2}=\pi n+\frac{\pi }{4}\Rightarrow$$

$$\sin\left(\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) = 0 \Rightarrow \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} = \pi n \Rightarrow \frac{5x}{2} = \pi n + \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{2}{5}\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\pi n}{5} + \frac{\pi}{10}$$

Пробуем значения $n$:

• $n = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \Rightarrow x_2 = \frac{\pi}{10}$
• $n = 1 \Rightarrow x = \frac{2\pi}{5} + \frac{\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x_3 = \frac{\pi}{2}$
• $n = 2 \Rightarrow x = \frac{4\pi}{5} + \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10} > \frac{\pi}{2}$ — не подходит

Но $\frac{\pi}{2}$ уже учтён ранее.

Чтобы не считать его дважды, итог:

• $x_1 = \frac{\pi}{10}$
• $x_2 = \frac{\pi}{2}$

Ответ к б):

$$\boxed{{\displaystyle \text{2 корня: }x=\frac{\pi }{10},\frac{\pi }{2}}}$$