ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3\sin x+4\cos x\mathrm{}$

б) $5\cos x-12\sin x$

в) $7\sin x-24\cos x$

г) $8\cos x+15\sin x$

Преобразовать данное выражение к виду $C \sin(x + t)$ или $C \cos(x + t)$;

а) $3 \sin x + 4 \cos x = 5\left(\frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x\right) = 5 \sin(x + t)$;
$C = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$;
$\cos t = \frac{3}{5}$;
$t = \arccos \frac{3}{5}$;
Ответ: $5 \sin\left(x + \arccos \frac{3}{5}\right)$.

б) $5 \cos x — 12 \sin x = 13\left(\frac{5}{13} \cos x — \frac{12}{13} \sin x\right) = 13 \cos(x + t)$;
$C = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$;
$\cos t = \frac{5}{13}$;
$t = \arccos \frac{5}{13}$;
Ответ: $13 \cos\left(x + \arccos \frac{5}{13}\right)$.

в) $7 \sin x — 24 \cos x = 25\left(\frac{7}{25} \sin x — \frac{24}{25} \cos x\right) = 25 \sin(x — t)$;
$C = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$;
$\cos t = \frac{7}{25}$;
$t = \arccos \frac{7}{25}$;
Ответ: $25 \sin\left(x — \arccos \frac{7}{25}\right)$.

г) $8 \cos x + 15 \sin x = 17\left(\frac{8}{17} \cos x + \frac{15}{17} \sin x\right) = 17 \cos(x — t)$;
$C = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$;
$\cos t = \frac{8}{17}$;
$t = \arccos \frac{8}{17}$;
Ответ: $17 \cos\left(x — \arccos \frac{8}{17}\right)$.

Для любого выражения вида:

$$a \sin x + b \cos x$$

Можно привести его к виду:

$$C \sin(x + t) \quad \text{или} \quad C \cos(x + t)$$

где:

• $C = \sqrt{a^2 + b^2}$ — амплитуда (всегда положительная),
• $t$ — угол смещения (фаза), который определяем из условия:
  • для синуса: $\sin(x + t) = \sin x \cos t + \cos x \sin t$
  • для косинуса: $\cos(x + t) = \cos x \cos t — \sin x \sin t$

То есть:

• если выражение ближе по структуре к синусу (например, начинается с $\sin x$), удобно использовать синус;
• если ближе к косинусу — косинус.

а) $3 \sin x + 4 \cos x$

Шаг 1: Представим выражение как линейную комбинацию синуса и косинуса:

$$3 \sin x + 4 \cos x$$

Шаг 2: Найдём коэффициент $C$ по формуле:

$$C = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 3: Представим выражение в виде:

$$C \sin(x + t) = 5 \sin(x + t)$$

Шаг 4: Сравним с формулой:

$$\sin(x + t) = \sin x \cos t + \cos x \sin t$$

Значит, должны выполняться равенства:

• $\cos t = \frac{3}{5}$
• $\sin t = \frac{4}{5}$

(Так как $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$ — стороны прямоугольного треугольника с гипотенузой 5)

Шаг 5: Выразим угол:

$$t = \arccos\left( \frac{3}{5} \right)$$

Финальный ответ:

$$\boxed{5 \sin\left(x + \arccos \frac{3}{5}\right)}$$

б) $5 \cos x — 12 \sin x$

Шаг 1: Выражение:

$$5 \cos x — 12 \sin x$$

Шаг 2: Найдём $C$:

$$C = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Шаг 3: Представим выражение как:

$$13 \cos(x + t)$$

Шаг 4: Формула:

$$\cos(x + t) = \cos x \cos t — \sin x \sin t$$

Сравниваем:

• $\cos t = \frac{5}{13}$
• $\sin t = \frac{12}{13}$

(Так как 5-12-13 — прямоугольный треугольник)

Шаг 5: Угол:

$$t = \arccos\left( \frac{5}{13} \right)$$

Финальный ответ:

$$\boxed{13 \cos\left(x + \arccos \frac{5}{13}\right)}$$

в) $7 \sin x — 24 \cos x$

Шаг 1: Выражение:

$$7 \sin x — 24 \cos x$$

Шаг 2: Найдём $C$:

$$C = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$

Шаг 3: Представим выражение в виде:

$$25 \sin(x — t)$$

Здесь знак минус перед $\cos x$, значит угол $-t$, а сам синус $\sin(x — t) = \sin x \cos t — \cos x \sin t$

Сравниваем:

• $\cos t = \frac{7}{25}$
• $\sin t = \frac{24}{25}$

Шаг 4: Угол:

$$t = \arccos\left( \frac{7}{25} \right)$$

Финальный ответ:

$$\boxed{25 \sin\left(x — \arccos \frac{7}{25}\right)}$$

г) $8 \cos x + 15 \sin x$

Шаг 1: Выражение:

$$8 \cos x + 15 \sin x$$

Шаг 2: Найдём $C$:

$$C = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$$

Шаг 3: Представим в виде:

$$17 \cos(x — t)$$

Знак перед $\sin x$ — плюс, а формула:

$$\cos(x — t) = \cos x \cos t + \sin x \sin t$$

Сравниваем:

• $\cos t = \frac{8}{17}$
• $\sin t = \frac{15}{17}$

Шаг 4: Угол:

$$t = \arccos\left( \frac{8}{17} \right)$$

Финальный ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 17\cos (x-\arccos \frac{8}{17})}}$$