ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а)

$$y = 3 \sin 2x — 4 \cos 2x = 5\left(\frac{3}{5} \sin 2x — \frac{4}{5} \cos 2x\right) = 5 \sin(2x — t);$$ $$$$б)

$$y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x = 13\left(\frac{5}{13} \cos 3x + \frac{12}{13} \sin 3x\right) = 13 \cos(3x — t);$$ $$$$в)

$$y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2} = 25\left(\frac{7}{25} \sin \frac{x}{2} + \frac{24}{25} \cos \frac{x}{2}\right) = 25 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right);$$ $$$$г)

$$y=8\cos \frac{x}{3}-15\sin \frac{x}{3}$$

а)

$$y = 3 \sin 2x — 4 \cos 2x = 5\left(\frac{3}{5} \sin 2x — \frac{4}{5} \cos 2x\right) = 5 \sin(2x — t);$$ $$C = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin(2x — t) \leq 1;$$ $$-5 \leq 5 \sin(2x — t) \leq 5;$$

Ответ:

$$D(y) = [-5; 5]$$

б)

$$y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x = 13\left(\frac{5}{13} \cos 3x + \frac{12}{13} \sin 3x\right) = 13 \cos(3x — t);$$ $$C = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \cos(3x — t) \leq 1;$$ $$-13 \leq 13 \cos(3x — t) \leq 13;$$

Ответ:

$$D(y) = [-13; 13]$$

в)

$$y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2} = 25\left(\frac{7}{25} \sin \frac{x}{2} + \frac{24}{25} \cos \frac{x}{2}\right) = 25 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right);$$ $$C = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) \leq 1;$$ $$-25 \leq 25 \sin\left(\frac{x}{2} + t\right) \leq 25;$$

Ответ:

$$D(y) = [-25; 25]$$

г)

$$y = 8 \cos \frac{x}{3} — 15 \sin \frac{x}{3} = 17\left(\frac{8}{17} \cos \frac{x}{3} — \frac{15}{17} \sin \frac{x}{3}\right) = 17 \cos\left(\frac{x}{3} + t\right);$$ $$C = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17;$$

Множество значений:

$$-1 \leq \cos\left(\frac{x}{3} + t\right) \leq 1;$$ $$-17 \leq 17 \cos\left(\frac{x}{3} + t\right) \leq 17;$$

Ответ:

$$D(y) = [-17; 17]$$

Любое выражение вида:

$$y = a \sin(\omega x) + b \cos(\omega x)$$

можно привести к форме:

$$y = C \sin(\omega x + t) \quad \text{или} \quad y = C \cos(\omega x + t),$$

где:

• $C = \sqrt{a^2 + b^2}$ — амплитуда (максимальное отклонение функции);
• $t$ — фаза (угол сдвига).

Так как $\sin(\theta)$ и $\cos(\theta)$ принимают значения от $-1$ до $1$, то:

$$\boxed{-C \leq y \leq C}$$

а) $y = 3 \sin 2x — 4 \cos 2x$

Шаг 1: Идентифицируем коэффициенты

• $a = 3$
• $b = -4$

Шаг 2: Вычисляем амплитуду

$$C = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Шаг 3: Приведение к синусоидальному виду

$$y = 5\left( \frac{3}{5} \sin 2x — \frac{4}{5} \cos 2x \right) = 5 \sin(2x — t)$$

где

• $\sin t = \frac{3}{5}$,
• $\cos t = \frac{4}{5}$

Шаг 4: Используем ограничение синуса

$$-1 \leq \sin(2x — t) \leq 1 \Rightarrow -5 \leq y \leq 5$$

Ответ:

$$\boxed{D(y) = [-5; \ 5]}$$

б) $y = 5 \cos 3x + 12 \sin 3x$

Шаг 1: Коэффициенты

• $a = 12$
• $b = 5$

Шаг 2: Амплитуда

$$C = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Шаг 3: Приведение к косинусу

$$y = 13\left( \frac{5}{13} \cos 3x + \frac{12}{13} \sin 3x \right) = 13 \cos(3x — t)$$

где

• $\cos t = \frac{5}{13}$,
• $\sin t = \frac{12}{13}$

Шаг 4: Значения косинуса

$$-1 \leq \cos(3x — t) \leq 1 \Rightarrow -13 \leq y \leq 13$$

Ответ:

$$\boxed{D(y) = [-13; \ 13]}$$

в) $y = 7 \sin \frac{x}{2} + 24 \cos \frac{x}{2}$

Шаг 1: Коэффициенты

• $a = 7$
• $b = 24$

Шаг 2: Амплитуда

$$C = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$

Шаг 3: Приведение к синусу

$$y = 25\left( \frac{7}{25} \sin \frac{x}{2} + \frac{24}{25} \cos \frac{x}{2} \right) = 25 \sin\left( \frac{x}{2} + t \right)$$

где

• $\sin t = \frac{7}{25}$,
• $\cos t = \frac{24}{25}$

Шаг 4: Диапазон значений

$$-1 \leq \sin\left( \frac{x}{2} + t \right) \leq 1 \Rightarrow -25 \leq y \leq 25$$

Ответ:

$$\boxed{D(y) = [-25; \ 25]}$$

г) $y = 8 \cos \frac{x}{3} — 15 \sin \frac{x}{3}$

Шаг 1: Коэффициенты

• $a = -15$
• $b = 8$

Шаг 2: Амплитуда

$$C = \sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$$

Шаг 3: Приведение к косинусу

$$y = 17\left( \frac{8}{17} \cos \frac{x}{3} — \frac{15}{17} \sin \frac{x}{3} \right) = 17 \cos\left( \frac{x}{3} + t \right)$$

где

• $\cos t = \frac{8}{17}$,
• $\sin t = \frac{15}{17}$

Шаг 4: Значения

$$-1 \leq \cos\left( \frac{x}{3} + t \right) \leq 1 \Rightarrow -17 \leq y \leq 17$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle D(y)=[-17;17]}}$$