ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2}$$

б)

$$\sin 5x — \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

в)

$$\cos \frac{x}{2}-\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}+1=0$$г)

$$\sin \frac{x}{3}+\cos \frac{x}{3}=1$$

Решить уравнение:

а)

$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2}$$

Преобразуем левую часть:

$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x\right) = 2 \sin(2x + t)$$ $$C = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2;$$ $$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}; \quad t = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6};$$

Решаем:

$$2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2} \Rightarrow \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2}\left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}}$$

б)

$$\sin 5x — \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 5x — \cos 5x = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 5x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 5x\right) = \sqrt{2} \sin(5x — t)$$ $$C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}; \quad \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}; \quad t = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4};$$

Решаем:

$$\sqrt{2} \sin\left(5x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} \Rightarrow \sin\left(5x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$5x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{5}\left((-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n\right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$$

Ответ:

$$\boxed{(-1)^n \cdot \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}}$$

в)

$$\cos \frac{x}{2} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + 1 = 0 \Rightarrow \cos \frac{x}{2} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} = -1$$

Преобразуем:

$$\cos \frac{x}{2} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} = 2\left(\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{x}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{x}{2} + t\right)$$ $$C = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2; \quad \cos t = \frac{1}{2}; \quad t = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$$

Решаем:

$$2 \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -1 \Rightarrow \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Находим $x$:

• Первый корень:

$$x_1 = 2\left(\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = 2\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

• Второй корень:

$$x_2 = 2\left(-\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = 2(-\pi + 2\pi n) = -2\pi + 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{-2\pi + 4\pi n;\quad \frac{2\pi}{3} + 4\pi n}$$

г)

$$\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 1$$

Преобразуем:

$$\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{3}\right) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{x}{3} — t\right)$$ $$C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}; \quad \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}; \quad t = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4};$$

Решаем:

$$\sqrt{2} \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Находим $x$:

• Первый корень:

$$x_1 = 3\left(\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right) = 3 \cdot 2\pi n = 6\pi n$$

• Второй корень:

$$x_2 = 3\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right) = 3\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{6\pi n;\quad \frac{3\pi}{2} + 6\pi n}$$

а) $\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = \sqrt{2}$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Запишем левую часть в виде:

$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2\left( \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x \right)$$

Распознаём формулу:

$$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

Значит:

$$\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\sin (2x+t)$$

$$\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = \sin(2x + t) \quad \text{где} \quad \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin t = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}$$

Шаг 2: Подставим обратно

$$\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2 \sin(2x + \frac{\pi}{6}) \Rightarrow 2 \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{2}$$

Шаг 3: Делим обе части на 2

$$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 4: Решаем основное тригонометрическое уравнение

Общее решение:

$$\theta = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Приравниваем:

$$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Шаг 5: Выразим $x$

$$2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}}$$

б) $\sin 5x — \cos 5x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

$$\sin 5x — \cos 5x = \sqrt{2}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 5x — \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 5x \right) = \sqrt{2} \sin(5x — t)$$

Здесь:

$$\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}},\ \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Получаем уравнение

$$\sqrt{2} \sin\left(5x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$$

Шаг 3: Делим обе части на $\sqrt{2}$

$$\sin\left(5x — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4: Решаем

$$\theta = (-1)^n \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$5x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Шаг 5: Выразим $x$

$$x = \frac{1}{5} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$$

Ответ:

$$\boxed{x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}}$$

в) $\cos \frac{x}{2} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} + 1 = 0$

Шаг 1: Переносим 1

$$\cos \frac{x}{2} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} = -1$$

Шаг 2: Преобразуем

$$\cos \frac{x}{2} — \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} = 2\left( \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{x}{2} \right) = 2 \cos\left(\frac{x}{2} + t\right)$$

где:

$$\cos t = \frac{1}{2},\ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 3: Подставляем

$$2 \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -1 \Rightarrow \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решаем

$$\theta = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 5: Находим x

Первый корень:

$$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x_1 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$$

Второй корень:

$$\frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n \Rightarrow x_2 = -2\pi + 4\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = -2\pi + 4\pi n;\quad \frac{2\pi}{3} + 4\pi n}$$

г) $\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 1$

Шаг 1: Преобразуем

$$\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{x}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{x}{3} \right) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{x}{3} — t\right)$$

где:

$$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Подставляем

$$\sqrt{2} \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Решаем

$$\theta = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$ $$\frac{x}{3} — \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 4: Найдём x

Первый корень:

$$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x_1 = 3\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{3\pi}{2} + 6\pi n$$

Второй корень:

$$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n \Rightarrow x_2 = 3 \cdot 2\pi n = 6\pi n$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=6\pi n;\frac{3\pi }{2}+6\pi n}}$$