ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\sin x+\cos x+\sqrt{2}=2\sqrt{2}{\cos }^2(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{8})$$

б)

$$\cos 2x-\sin 2x-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}{\sin }^2(x+\frac{\pi }{8})$$

Доказать тождество:

а)

$$\sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{8}\right)$$

Преобразуем сумму:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right) = \sqrt{2} \cos(x — t)$$ $$C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}; \quad \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}; \quad t = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

Левая часть равенства:

$$\sin x + \cos x + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}$$ $$= 2\sqrt{2} \cdot \frac{1 + \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right)}{2} = 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{8}\right)$$

Тождество доказано.

б)

$$\cos 2x — \sin 2x — \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)$$

Преобразуем разность:

$$\cos 2x — \sin 2x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x \right) = \sqrt{2} \cos(2x + t)$$ $$C = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}; \quad \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}; \quad t = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

Левая часть равенства:

$$\cos 2x — \sin 2x — \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) — \sqrt{2}$$ $$= -2\sqrt{2} \cdot \frac{1 — \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)}{2} = -2\sqrt{2} \sin^2\left(x + \frac{\pi}{8}\right)$$

Тождество доказано.

а)

Докажем тождество:

$$\sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{8}\right)$$

Шаг 1. Преобразуем выражение $\sin x + \cos x$

Используем стандартный приём: представить сумму синуса и косинуса через одну функцию.

$$\sin x + \cos x = R \cos(x — t)$$

где:

• $R = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x}$, но проще — как $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, если записано как $a \sin x + b \cos x$

В нашем случае:

• $a = 1, b = 1 \Rightarrow R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Теперь представим:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$$

Заметим:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Следовательно:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 2. Подставим в исходное выражение

Исходное выражение в левой части:

$$\sin x + \cos x + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}$$

Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:

$$= \sqrt{2} \left( \cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 1 \right)$$

Шаг 3. Используем формулу понижения степени

$$\cos A + 1 = 2 \cos^2\left(\frac{A}{2}\right)$$

Применим:

$$\cos\left(x — \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 2 \cos^2\left( \frac{x — \frac{\pi}{4}}{2} \right) = 2 \cos^2\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right)$$

Следовательно:

$$\sqrt{2} (\cos(x — \frac{\pi}{4}) + 1) = \sqrt{2} \cdot 2 \cos^2\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right)$$ $$= 2\sqrt{2} \cos^2\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right)$$

Итак, тождество доказано:

$$\boxed{ \sin x + \cos x + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cos^2\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) }$$

б)

Докажем тождество:

$$\cos 2x — \sin 2x — \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \sin^2\left( x + \frac{\pi}{8} \right)$$

Шаг 1. Представим $\cos 2x — \sin 2x$ как одну функцию

Аналогично, применим:

$$a \cos A + b \sin A = R \cos(A — t)$$

Здесь:

• $a = 1, b = -1 \Rightarrow R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

Представим:

$$\cos 2x — \sin 2x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x — \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x \right)$$

Снова:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right),\quad -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ $$\Rightarrow \cos 2x — \sin 2x = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 2. Подставим в левую часть

$$\cos 2x — \sin 2x — \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) — \sqrt{2}$$

Вынесем $\sqrt{2}$:

$$= \sqrt{2} \left( \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) — 1 \right)$$

Шаг 3. Применим формулу: $1 — \cos A = 2 \sin^2\left( \frac{A}{2} \right)$

$$\cos A — 1 = -2 \sin^2\left( \frac{A}{2} \right) \Rightarrow \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) — 1 = -2 \sin^2\left( x + \frac{\pi}{8} \right)$$

Подставим:

$$\sqrt{2} \left( \cos(2x + \frac{\pi}{4}) — 1 \right) = -2\sqrt{2} \sin^2\left( x + \frac{\pi}{8} \right)$$

Тождество доказано:

$$\boxed{{\displaystyle \cos 2x-\sin 2x-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}{\sin }^2(x+\frac{\pi }{8})}}$$