ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\cos \frac{\pi }{10}-\cos \frac{\pi }{20}$$

б)

$$\cos \frac{11\pi }{12}+\cos \frac{3\pi }{4}$$

в)

$$\cos \frac{\pi }{5}-\cos \frac{\pi }{11}$$

г)

$$\cos \frac{3\pi }{8}+\cos \frac{5\pi }{4}$$

Представить в виде произведения:

а)

$$\cos \frac{\pi }{10}-\cos \frac{\pi }{20}=\cos \frac{2\pi }{20}-\cos \frac{\pi }{20}=-2\sin \frac{2\pi +\pi }{2\cdot 20}\cdot \sin \frac{2\pi -\pi }{2\cdot 20}=$$

$$\cos \frac{\pi}{10} — \cos \frac{\pi}{20} = \cos \frac{2\pi}{20} — \cos \frac{\pi}{20} = -2 \sin \frac{2\pi + \pi}{2 \cdot 20} \cdot \sin \frac{2\pi — \pi}{2 \cdot 20} = -2 \sin \frac{3\pi}{40} \cdot \sin \frac{\pi}{40};$$

б)

$$\cos \frac{11\pi }{12}+\cos \frac{3\pi }{4}=\cos \frac{11\pi }{12}+\cos \frac{9\pi }{12}=2\cos \frac{11\pi +9\pi }{2\cdot 12}\cdot \cos \frac{11\pi -9\pi }{2\cdot 12}=$$

$$=2\cos \frac{20\pi }{24}\cdot \cos \frac{2\pi }{2\cdot 12}=2\cos \frac{5\pi }{6}\cdot \cos \frac{\pi }{12}=-2\cos \frac{\pi }{6}\cdot \cos \frac{\pi }{12}=$$

$$\cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{4} = \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{9\pi}{12} = 2 \cos \frac{11\pi + 9\pi}{2 \cdot 12} \cdot \cos \frac{11\pi — 9\pi}{2 \cdot 12} = 2 \cos \frac{20\pi}{24} \cdot \cos \frac{2\pi}{2 \cdot 12} = 2 \cos \frac{5\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = -2 \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos \frac{\pi}{12} = -\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12};$$

в)

$$\cos \frac{\pi }{5}-\cos \frac{\pi }{11}=\cos \frac{11\pi }{55}-\cos \frac{5\pi }{55}=-2\sin \frac{11\pi +5\pi }{2\cdot 55}\cdot \sin \frac{11\pi -5\pi }{2\cdot 55}=$$

$$\cos \frac{\pi}{5} — \cos \frac{\pi}{11} = \cos \frac{11\pi}{55} — \cos \frac{5\pi}{55} = -2 \sin \frac{11\pi + 5\pi}{2 \cdot 55} \cdot \sin \frac{11\pi — 5\pi}{2 \cdot 55} = -2 \sin \frac{16\pi}{2 \cdot 55} \cdot \sin \frac{6\pi}{2 \cdot 55} = -2 \sin \frac{8\pi}{55} \cdot \sin \frac{3\pi}{55};$$

г)

$$\cos \frac{3\pi }{8}+\cos \frac{5\pi }{4}=\cos \frac{3\pi }{8}+\cos \frac{10\pi }{8}=2\cos \frac{10\pi +3\pi }{2\cdot 8}\cdot \cos \frac{10\pi -3\pi }{2\cdot 8}=$$

$$\cos \frac{3\pi}{8} + \cos \frac{5\pi}{4} = \cos \frac{3\pi}{8} + \cos \frac{10\pi}{8} = 2 \cos \frac{10\pi + 3\pi}{2 \cdot 8} \cdot \cos \frac{10\pi — 3\pi}{2 \cdot 8} = 2 \cos \frac{13\pi}{16} \cdot \cos \frac{7\pi}{16};$$

Формулы, которые используем:

Разность косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Сумма косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

а)

$$\cos\left( \frac{\pi}{10} \right) — \cos\left( \frac{\pi}{20} \right)$$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{20} \Rightarrow \cos\left( \frac{2\pi}{20} \right) — \cos\left( \frac{\pi}{20} \right)$$

Шаг 2. Применяем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:
$A = \frac{2\pi}{20},\quad B = \frac{\pi}{20}$

Шаг 3. Считаем полу-сумму и полу-разность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{2\pi + \pi}{2 \cdot 20} = \frac{3\pi}{40}$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{2\pi — \pi}{2 \cdot 20} = \frac{\pi}{40}$$

Шаг 4. Подставляем в формулу:

$$\cos\left( \frac{\pi}{10} \right) — \cos\left( \frac{\pi}{20} \right) = -2 \sin\left( \frac{3\pi}{40} \right) \cdot \sin\left( \frac{\pi}{40} \right)$$

Ответ (а):

$$\boxed{ -2 \sin\left( \frac{3\pi}{40} \right) \cdot \sin\left( \frac{\pi}{40} \right) }$$

б)

$$\cos\left( \frac{11\pi}{12} \right) + \cos\left( \frac{3\pi}{4} \right)$$

Шаг 1. Приводим к одному знаменателю:

$$\frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12} \Rightarrow \cos\left( \frac{11\pi}{12} \right) + \cos\left( \frac{9\pi}{12} \right)$$

Шаг 2. Применяем формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:
$A = \frac{11\pi}{12},\quad B = \frac{9\pi}{12}$

Шаг 3. Считаем полу-сумму и полу-разность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{20\pi}{24} = \frac{5\pi}{6}$$ $$\frac{A — B}{2} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}$$

Шаг 4. Подставляем:

$$\cos\left( \frac{11\pi}{12} \right) + \cos\left( \frac{3\pi}{4} \right) = 2 \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{12} \right)$$

Шаг 5. Заменяем $\cos \frac{5\pi}{6}$:

$$\cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 6. Подставляем в выражение:

$$2 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{\pi}{12} \right) = -\sqrt{3} \cdot \cos\left( \frac{\pi}{12} \right)$$

Ответ (б):

$$\boxed{ -\sqrt{3} \cdot \cos\left( \frac{\pi}{12} \right) }$$

в)

$$\cos\left( \frac{\pi}{5} \right) — \cos\left( \frac{\pi}{11} \right)$$

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{5} = \frac{11\pi}{55},\quad \frac{\pi}{11} = \frac{5\pi}{55} \Rightarrow \cos\left( \frac{11\pi}{55} \right) — \cos\left( \frac{5\pi}{55} \right)$$

Шаг 2. Формула разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Шаг 3. Полу-сумма и полу-разность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{16\pi}{110} = \frac{8\pi}{55},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{6\pi}{110} = \frac{3\pi}{55}$$

Шаг 4. Подставляем:

$$\cos\left( \frac{\pi}{5} \right) — \cos\left( \frac{\pi}{11} \right) = -2 \sin\left( \frac{8\pi}{55} \right) \cdot \sin\left( \frac{3\pi}{55} \right)$$

Ответ (в):

$$\boxed{ -2 \sin\left( \frac{8\pi}{55} \right) \cdot \sin\left( \frac{3\pi}{55} \right) }$$

г)

$$\cos\left( \frac{3\pi}{8} \right) + \cos\left( \frac{5\pi}{4} \right)$$

Шаг 1. Приводим второй угол к восьмым:

$$\frac{5\pi}{4} = \frac{10\pi}{8} \Rightarrow \cos\left( \frac{3\pi}{8} \right) + \cos\left( \frac{10\pi}{8} \right)$$

Шаг 2. Формула суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Шаг 3. Полу-сумма и полу-разность:

$$\frac{A + B}{2} = \frac{13\pi}{16},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{-7\pi}{16}$$

Но:

$$\cos(-\theta) = \cos(\theta) \Rightarrow \cos\left( \frac{-7\pi}{16} \right) = \cos\left( \frac{7\pi}{16} \right)$$

Шаг 4. Подставим:

$$\cos\left( \frac{3\pi}{8} \right) + \cos\left( \frac{5\pi}{4} \right) = 2 \cos\left( \frac{13\pi}{16} \right) \cdot \cos\left( \frac{7\pi}{16} \right)$$

Ответ (г):

$$\boxed{2 \cos\left( \frac{13\pi}{16} \right) \cdot \cos\left( \frac{7\pi}{16} \right)}$$