ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a)

$$2\sin 17x+\sqrt{3}\cos 5x+\sin 5x=0;$$

б)

$$5\sin x-12\cos x+13\sin 3x=0$$

Решить уравнение:

a)

$$2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0;$$

Преобразуем сумму:

$$\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin 5x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5x \right) = 2 \sin(5x + t);$$ $$C = \sqrt{3} + 1 = \sqrt{4} = 2;$$ $$\cos t = \frac{1}{2};$$ $$t = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3};$$

Подставим это значение в уравнение:

$$2 \sin 17x + 2 \sin \left( 5x + \frac{\pi}{3} \right) = 0;$$ $$2 \cdot 2 \sin \frac{22x + \pi}{2} \cdot \cos \frac{12x — \pi}{2} = 0;$$ $$\sin \left( 11x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \left( 6x — \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( 11x + \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$ $$11x + \frac{\pi}{6} = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{11} \left( -\frac{\pi}{6} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi n}{11};$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( 6x — \frac{\pi}{6} \right) = 0;$$ $$6x — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{6} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{2\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6};$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{66} + \frac{\pi n}{11};\quad \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}.$$

б)

$$5 \sin x — 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0;$$

Преобразуем разность:

$$6 \sin x — 12 \cos x = 13 \left( \frac{6}{13} \sin x — \frac{12}{13} \cos x \right) = 13 \sin(x — t);$$ $$C = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13;$$ $$\cos t = \frac{5}{13};$$ $$t = \arccos \frac{5}{13};$$

Подставим это значение в уравнение:

$$13 \sin(x — t) + 13 \sin 3x = 0;$$ $$13 \cdot 2 \sin \frac{4x — t}{2} \cdot \cos \frac{-2x — t}{2} = 0;$$ $$\sin \left( 2x — \frac{t}{2} \right) \cdot \cos \left( x + \frac{t}{2} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( 2x — \frac{t}{2} \right) = 0;$$ $$2x — \frac{t}{2} = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{t}{2} + \pi n \right) = \frac{1}{4} t + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( x + \frac{t}{2} \right) = 0;$$ $$x + \frac{t}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} — \frac{t}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{1}{4} \arccos \frac{5}{13} + \frac{\pi n}{2};\quad \frac{\pi}{2} — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} + \pi n.$$

а) Уравнение:

$$2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0$$

Шаг 1: Сгруппируем и преобразуем часть с $\cos 5x$ и $\sin 5x$

$$\sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 2 \left( \frac{1}{2} \sin 5x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5x \right)$$

Это сумма синуса и косинуса — можно записать в виде одного синуса с углом:

$$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(x + \varphi),$$

где

$$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

В нашем случае:

• $a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} } = \sqrt{1} = 1$

То есть:

$$\frac{1}{2} \sin 5x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5x = \sin \left(5x + \frac{\pi}{3}\right)$$

=> возвращаемся к уравнению:

$$2 \sin 17x + 2 \sin\left(5x + \frac{\pi}{3}\right) = 0$$

Шаг 2: Вынесем 2 за скобку и используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = 17x$
• $B = 5x + \frac{\pi}{3}$

Считаем:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{17x + 5x + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{22x + \frac{\pi}{3}}{2} = 11x + \frac{\pi}{6}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{17x — 5x — \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{12x — \frac{\pi}{3}}{2} = 6x — \frac{\pi}{6}$

Тогда:

$$2 \sin 17x + 2 \sin \left(5x + \frac{\pi}{3}\right) = 4 \sin \left(11x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot \cos \left(6x — \frac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 3: Уравнение превращается в:

$$4 \sin \left(11x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \left(6x — \frac{\pi}{6} \right) = 0$$

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Случай 1:

$$\sin (11x+\frac{\pi }{6})=0\Rightarrow 11x+\frac{\pi }{6}=\pi n\Rightarrow 11x=\pi n-\frac{\pi }{6}\Rightarrow$$

$$\sin \left(11x + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \Rightarrow 11x + \frac{\pi}{6} = \pi n \Rightarrow 11x = \pi n — \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{\pi}{11} \left(n — \frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi n}{11}$$

Случай 2:

$$\cos (6x-\frac{\pi }{6})=0\Rightarrow 6x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow 6x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{2}+\pi n=\frac{2\pi }{3}+\pi n\Rightarrow$$

$$\cos \left(6x — \frac{\pi}{6} \right) = 0 \Rightarrow 6x — \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 6x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n \Rightarrow x = \frac{1}{6} \left( \frac{2\pi}{3} + \pi n \right) = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}$$

Ответ к пункту (а):

$$\boxed{ x = -\frac{\pi}{66} + \frac{\pi n}{11}, \quad x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{6}, \quad n \in \mathbb{Z} }$$

б) Уравнение:

$$5 \sin x — 12 \cos x + 13 \sin 3x = 0$$

Шаг 1: Объединяем первые два слагаемых

Это снова сумма вида:

$$a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi)$$

где:

• $a = 5$, $b = -12$
• $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Найдём $\varphi$:

$$\cos \varphi = \frac{a}{R} = \frac{5}{13}, \quad \sin \varphi = \frac{-12}{13} \Rightarrow \varphi = -\arcsin\left(\frac{12}{13}\right) = \arccos\left(\frac{5}{13}\right)$$

(Знак минус у синуса указывает на 4-й квадрант, но используем формулу с плюсом.)

Тогда:

$$5 \sin x — 12 \cos x = 13 \sin(x — t), \quad t = \arccos \frac{5}{13}$$

Подставляем в уравнение:

$$13 \sin(x — t) + 13 \sin 3x = 0 \Rightarrow \sin(x — t) + \sin 3x = 0$$

Шаг 2: Снова используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = x — t$, $B = 3x$

Считаем:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{(x — t) + 3x}{2} = \frac{4x — t}{2} = 2x — \frac{t}{2}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{(x — t) — 3x}{2} = \frac{-2x — t}{2} = -x — \frac{t}{2}$

Получаем:

$$\sin(x — t) + \sin 3x = 2 \sin \left(2x — \frac{t}{2}\right) \cdot \cos \left(x + \frac{t}{2}\right) = 0$$

Шаг 3: Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю

Случай 1:

$$\sin (2x-\frac{t}{2})=0\Rightarrow 2x-\frac{t}{2}=\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}+\frac{t}{4}\Rightarrow$$

$$\sin \left(2x — \frac{t}{2}\right) = 0 \Rightarrow 2x — \frac{t}{2} = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2} + \frac{t}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4} \arccos \frac{5}{13} + \frac{\pi n}{2}$$

Случай 2:

$$\cos (x+\frac{t}{2})=0\Rightarrow x+\frac{t}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}-\frac{t}{2}+\pi n\Rightarrow$$

$$\cos \left(x + \frac{t}{2}\right) = 0 \Rightarrow x + \frac{t}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} — \frac{t}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} — \frac{1}{2} \arccos \frac{5}{13} + \pi n$$

Ответ к пункту (б):

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{1}{4}\arccos \frac{5}{13}+\frac{\pi n}{2},x=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\arccos \frac{5}{13}+\pi n,n\in \mathbb{Z}}}$$