ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$tg{25}^{\circ }+tg{35}^{\circ }$$

б)

$$tg\frac{\pi }{5}-tg\frac{\pi }{10}$$

в)

$$tg{20}^{\circ }+tg{40}^{\circ }$$

г)

$$tg\frac{\pi }{3}-tg\frac{\pi }{4}$$

а)

$$tg\,25^\circ + tg\,35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \cos 25^\circ \cdot \sin 35^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ} =$$ $$= \frac{\sin(25^\circ + 35^\circ)}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ};$$

б)

$$tg\,\frac{\pi}{5} — tg\,\frac{\pi}{10} = \frac{\sin\frac{\pi}{5}}{\cos\frac{\pi}{5}} — \frac{\sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{10}} = \frac{\sin\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{\pi}{10} — \cos\frac{\pi}{5} \cdot \sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{\pi}{10}} =$$ $$= \frac{\sin\left(\frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{10}\right)}{\cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{\pi}{10}} = \frac{\sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{\pi}{10}} = \frac{tg\,\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5}};$$

в)

$$tg\,20^\circ + tg\,40^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \cos 20^\circ \cdot \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} =$$ $$= \frac{\sin(20^\circ + 40^\circ)}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ};$$

г)

$$tg\,\frac{\pi}{3} — tg\,\frac{\pi}{4} = \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}} — \frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \cos\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{4}} =$$ $$= \sin\left(\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4}\right) : \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{12} : \frac{\sqrt{2}}{4} = \sin\frac{\pi}{12} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \sin\frac{\pi}{12}$$

а) $\tg 25^\circ + \tg 35^\circ$

Шаг 1: Выражаем через синус и косинус

$$\tg 25^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ}, \quad \tg 35^\circ = \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ}$$ $$\Rightarrow \tg 25^\circ + \tg 35^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю

Общий знаменатель: $\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ$

$$= \frac{\sin 25^\circ \cdot \cos 35^\circ + \cos 25^\circ \cdot \sin 35^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}$$

Шаг 3: Применяем формулу:

$$\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B) \Rightarrow \sin(25^\circ + 35^\circ) = \sin 60^\circ$$

Шаг 4: Подставляем

$$= \frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}$$

Шаг 5: Подставляем значение:

$$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}$$

Ответ:

$$\tg 25^\circ + \tg 35^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}$$

б) $\tg\frac{\pi}{5} — \tg\frac{\pi}{10}$

Шаг 1: Выражаем через синусы и косинусы

$$= \frac{\sin\frac{\pi}{5}}{\cos\frac{\pi}{5}} — \frac{\sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{10}}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{\sin\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{\pi}{10} — \cos\frac{\pi}{5} \cdot \sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{\pi}{10}}$$

Шаг 3: Используем формулу:

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B) \Rightarrow = \sin\left(\frac{\pi}{5} — \frac{\pi}{10}\right) = \sin\frac{\pi}{10}$$

Шаг 4: Подставляем:

$$= \frac{\sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{\pi}{10}} = \frac{\tg\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5}}$$

Ответ:

$$\tg\frac{\pi}{5} — \tg\frac{\pi}{10} = \frac{\tg\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{\pi}{5}}$$

в) $\tg 20^\circ + \tg 40^\circ$

Шаг 1: Через синусы и косинусы:

$$= \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} + \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 40^\circ + \cos 20^\circ \cdot \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}$$

Шаг 3: Формула суммы:

$$= \sin(20^\circ + 40^\circ) = \sin 60^\circ$$

Шаг 4: Подставляем:

$$= \frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}$$

Ответ:

$$\tg 20^\circ + \tg 40^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}$$

г) $\tg\frac{\pi}{3} — \tg\frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Выражаем:

$$= \frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}} — \frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{4}}$$

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю:

$$= \frac{\sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{4} — \cos\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{4}}$$

Шаг 3: Используем:

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(A — B) \Rightarrow = \sin\left(\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{12}$$

Шаг 4: Подставляем значения:

$$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

Шаг 5: Окончательное выражение:

$$= \frac{\sin\frac{\pi}{12}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \sin\frac{\pi}{12} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \cdot \sin\frac{\pi}{12}$$

Ответ:

$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=2\sqrt{2}\cdot \sin \frac{\pi }{12}$$