ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\frac{\cos {68}^{\circ }-\cos {22}^{\circ }}{\sin {68}^{\circ }-\sin {22}^{\circ }}$$

б)

$$\frac{\sin {130}^{\circ }+\sin {110}^{\circ }}{\cos {130}^{\circ }+\cos {110}^{\circ }}$$

Вычислить значение:

а)

$$\frac{\cos 68^\circ — \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ — \sin 22^\circ} = \frac{-2 \sin \frac{68^\circ + 22^\circ}{2} \cdot \sin \frac{68^\circ — 22^\circ}{2}}{2 \sin \frac{68^\circ — 22^\circ}{2} \cdot \cos \frac{68^\circ + 22^\circ}{2}} =$$ $$= \frac{-\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = -\tg 45^\circ = -1;$$

Ответ: $-1$

б)

$$\frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ} = \frac{2 \sin \frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cdot \cos \frac{130^\circ — 110^\circ}{2}}{2 \cos \frac{130^\circ + 110^\circ}{2} \cdot \cos \frac{130^\circ — 110^\circ}{2}} =$$ $$= \frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = \tg 120^\circ = \tg(90^\circ + 30^\circ) = -\ctg 30^\circ = -\sqrt{3};$$

Ответ: $-\sqrt{3}$

Вычислить значение:

а)

$$\frac{\cos 68^\circ — \cos 22^\circ}{\sin 68^\circ — \sin 22^\circ}$$

Шаг 1: Используем формулы разности косинусов и синусов:

Формула разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Формула разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Шаг 2: Применяем формулы к числам $A = 68^\circ, B = 22^\circ$

Числитель:

$$\cos 68^\circ — \cos 22^\circ = -2 \sin\left(\frac{68^\circ + 22^\circ}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{68^\circ — 22^\circ}{2}\right)$$ $$= -2 \sin 45^\circ \cdot \sin 23^\circ$$

Знаменатель:

$$\sin 68^\circ — \sin 22^\circ = 2 \cos\left(\frac{68^\circ + 22^\circ}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{68^\circ — 22^\circ}{2}\right)$$ $$= 2 \cos 45^\circ \cdot \sin 23^\circ$$

Шаг 3: Подставляем в дробь:

$$\frac{-2 \sin 45^\circ \cdot \sin 23^\circ}{2 \cos 45^\circ \cdot \sin 23^\circ}$$

Шаг 4: Сокращаем:

• Сокращаем $2$ в числителе и знаменателе
• Сокращаем $\sin 23^\circ$, т.к. оно присутствует и там и там

Получаем:

$$\frac{-\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}$$

Шаг 5: Используем определение тангенса:

$$\tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \Rightarrow \frac{-\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = -\tg 45^\circ$$

Шаг 6: Подставляем значение:

$$\tg 45^\circ = 1 \Rightarrow -\tg 45^\circ = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

б)

$$\frac{\sin 130^\circ + \sin 110^\circ}{\cos 130^\circ + \cos 110^\circ}$$

Шаг 1: Используем формулы суммы синусов и косинусов:

Формула суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Формула суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Шаг 2: Подставляем $A = 130^\circ, B = 110^\circ$

Числитель:

$$\sin 130^\circ + \sin 110^\circ = 2 \sin\left(\frac{130^\circ + 110^\circ}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{130^\circ — 110^\circ}{2}\right)$$ $$= 2 \sin 120^\circ \cdot \cos 10^\circ$$

Знаменатель:

$$\cos 130^\circ + \cos 110^\circ = 2 \cos\left(\frac{130^\circ + 110^\circ}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{130^\circ — 110^\circ}{2}\right)$$ $$= 2 \cos 120^\circ \cdot \cos 10^\circ$$

Шаг 3: Подставляем в дробь:

$$\frac{2 \sin 120^\circ \cdot \cos 10^\circ}{2 \cos 120^\circ \cdot \cos 10^\circ}$$

Шаг 4: Сокращаем:

• Сокращаем $2$
• Сокращаем $\cos 10^\circ$

Остаётся:

$$\frac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = \tg 120^\circ$$

Шаг 5: Преобразуем:

$$\tg 120^\circ = \tg(90^\circ + 30^\circ) = -\ctg 30^\circ$$

(используем формулу: $\tg(90^\circ + \alpha) = -\ctg \alpha$)

Шаг 6: Подставляем значение:

$$\ctg 30^\circ = \frac{1}{\tg 30^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow -\ctg 30^\circ = -\sqrt{3}$$

Ответ:

$$\boxed{-\sqrt{3}}$$