ГДЗ 10-11 Класс Номер 22.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a}=\mathrm{tg}4a;$$

б)

$$\frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}=\mathrm{tg}3a\cdot \mathrm{tg}a$$

Доказать тождество:

а)

$$\frac{\sin 2a + \sin 6a}{\cos 2a + \cos 6a} = \tg\,4a;$$ $$\frac{2 \sin \frac{6a + 2a}{2} \cdot \cos \frac{6a — 2a}{2}}{2 \cos \frac{6a + 2a}{2} \cdot \cos \frac{6a — 2a}{2}} = \tg\,4a;$$ $$\frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \tg\,4a;$$ $$\tg\,4a = \tg\,4a;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos 2a — \cos 4a}{\cos 2a + \cos 4a} = \tg\,3a \cdot \tg\,a;$$ $$\frac{-2 \sin \frac{2a — 4a}{2} \cdot \sin \frac{2a + 4a}{2}}{2 \cos \frac{4a — 2a}{2} \cdot \cos \frac{4a + 2a}{2}} = \tg\,3a \cdot \tg\,a;$$ $$\frac{-\sin(-a) \cdot \sin 3a}{\cos a \cdot \cos 3a} = \tg\,3a \cdot \tg\,a;$$ $$\frac{\sin a}{\cos a} \cdot \tg\,3a = \tg\,3a \cdot \tg\,a;$$ $$\tg\,3a \cdot \tg\,a = \tg\,3a \cdot \tg\,a;$$

Тождество доказано.

а)

$$\frac{\sin 2a + \sin 6a}{\cos 2a + \cos 6a} = \tg 4a$$

Шаг 1: Преобразуем числитель с помощью формулы суммы синусов

Формула:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = 6a$,
• $B = 2a$

Подставим:

$$\sin 6a + \sin 2a = 2 \sin\left( \frac{6a + 2a}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{6a — 2a}{2} \right) = 2 \sin 4a \cdot \cos 2a$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель с помощью формулы суммы косинусов

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = 6a$,
• $B = 2a$

Подставим:

$$\cos 6a + \cos 2a = 2 \cos\left( \frac{6a + 2a}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{6a — 2a}{2} \right) = 2 \cos 4a \cdot \cos 2a$$

Шаг 3: Подставим обратно в исходную дробь:

$$\frac{2 \sin 4a \cdot \cos 2a}{2 \cos 4a \cdot \cos 2a}$$

Шаг 4: Сократим общий множитель $2 \cos 2a$:

$$= \frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \tg 4a$$

Шаг 5: Получили:

$$\tg 4a = \tg 4a \quad \Rightarrow \text{тождество верно}$$

Ответ:

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\cos 2a — \cos 4a}{\cos 2a + \cos 4a} = \tg 3a \cdot \tg a$$

Шаг 1: Преобразуем числитель с помощью формулы разности косинусов

Формула:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = 2a$,
• $B = 4a$

Подставим:

$$\cos 2a — \cos 4a = -2 \sin\left( \frac{2a + 4a}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{2a — 4a}{2} \right) = -2 \sin 3a \cdot \sin(-a)$$

Шаг 2: Используем нечетность синуса:

$$\sin(-a) = -\sin a \Rightarrow -2 \sin 3a \cdot \sin(-a) = -2 \sin 3a \cdot (-\sin a) = 2 \sin 3a \cdot \sin a$$

Шаг 3: Преобразуем знаменатель с помощью формулы суммы косинусов

Формула:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Здесь:

• $A = 2a$,
• $B = 4a$

Подставим:

$$\cos 2a + \cos 4a = 2 \cos\left( \frac{2a + 4a}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{4a — 2a}{2} \right) = 2 \cos 3a \cdot \cos a$$

Шаг 4: Подставим всё в исходную дробь:

$$\frac{2 \sin 3a \cdot \sin a}{2 \cos 3a \cdot \cos a}$$

Шаг 5: Сократим общий множитель 2:

$$= \frac{\sin 3a}{\cos 3a} \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \tg 3a \cdot \tg a$$

Шаг 6: Получили:

$$\tg 3a \cdot \tg a = \tg 3a \cdot \tg a \quad \Rightarrow \text{тождество верно}$$

Ответ:

Тождество доказано.