ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество

$${\cos }^2({45}^{\circ }-a)-{\cos }^2({60}^{\circ }+a)-\cos {75}^{\circ }\cdot \sin ({75}^{\circ }-2a)=\sin 2a$$

Доказать тождество:

$$\cos^2(45^\circ — a) — \cos^2(60^\circ + a) — \cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \sin 2a;$$ $$\frac{1 + \cos(90^\circ — 2a)}{2} — \frac{1 + \cos(120^\circ + 2a)}{2} — \sin(75^\circ — 2a) \cdot \cos 75^\circ = \sin 2a;$$ $$\frac{\cos(90^\circ — 2a)}{2} — \frac{\cos(120^\circ + 2a)}{2} — \frac{\sin(150^\circ — 2a) + \sin(-2a)}{2} = \sin 2a;$$ $$\frac{\sin 2a}{2} — \frac{\cos(90^\circ + (30^\circ + 2a))}{2} — \frac{\sin(180^\circ — (30^\circ + 2a)) — \sin 2a}{2} = \sin 2a;$$ $$\frac{\sin 2a}{2} + \frac{\sin(30^\circ + 2a)}{2} — \frac{\sin(30^\circ + 2a)}{2} + \frac{\sin 2a}{2} = \sin 2a;$$ $$\sin 2a = \sin 2a;$$

Тождество доказано.

Доказать тождество:

$$\cos^2(45^\circ — a) — \cos^2(60^\circ + a) — \cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \sin 2a$$

Шаг 1: Преобразуем квадраты косинусов по формуле:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Применим эту формулу к каждому из квадратов:

$$\cos^2(45^\circ — a) = \frac{1 + \cos(90^\circ — 2a)}{2}$$ $$\cos^2(60^\circ + a) = \frac{1 + \cos(120^\circ + 2a)}{2}$$

Шаг 2: Подставим в выражение:

$$\frac{1 + \cos(90^\circ — 2a)}{2} — \frac{1 + \cos(120^\circ + 2a)}{2} — \cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a)$$

Шаг 3: Сократим единицы:

$$\left( \frac{1 + \cos(90^\circ — 2a)}{2} — \frac{1 + \cos(120^\circ + 2a)}{2} \right) = \frac{\cos(90^\circ — 2a) — \cos(120^\circ + 2a)}{2}$$

Так что выражение становится:

$$\frac{\cos(90^\circ — 2a) — \cos(120^\circ + 2a)}{2} — \cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a)$$

Шаг 4: Используем, что $\cos 75^\circ = \sin 15^\circ$

Так как:

$$\cos \theta \cdot \sin (\theta -2a)=\frac{1}{2}[\sin (2\theta -2a)+\sin (2a)]$$

$$\cos \theta \cdot \sin(\theta — 2a) = \frac{1}{2} \left[ \sin(2\theta — 2a) + \sin(2a) \right] \quad \text{(будем использовать позже)}$$

Но сначала упростим:

$$\cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a)$$

С помощью формулы:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A — B)]$$

Или проще: выразим это произведение через сумму по формуле:

$$\sin x \cdot \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x + y) + \sin(x — y)]$$

Но автор преобразует иначе:
Он преобразует:

$$\cos 75^\circ \cdot \sin(75^\circ — 2a) = \frac{\sin(150^\circ — 2a) + \sin(-2a)}{2}$$

Использована формула:

$$\sin x \cdot \cos y = \frac{1}{2} [\sin(x + y) + \sin(x — y)]$$

Здесь:

• $x = 75^\circ — 2a$
• $y = 75^\circ$

Тогда:

$$\sin(75^\circ — 2a) \cdot \cos 75^\circ = \frac{1}{2} [\sin(150^\circ — 2a) + \sin(-2a)]$$

Шаг 5: Подставим в основное выражение:

$$\frac{\cos(90^\circ — 2a)}{2} — \frac{\cos(120^\circ + 2a)}{2} — \frac{\sin(150^\circ — 2a) + \sin(-2a)}{2}$$

Шаг 6: Упростим каждую часть:

• $\cos(90^\circ — 2a) = \sin 2a$
• $\cos(120^\circ + 2a) = \cos(90^\circ + 30^\circ + 2a) = -\sin(30^\circ + 2a)$
• $\sin(150^\circ — 2a) = \sin(180^\circ — (30^\circ + 2a)) = \sin(30^\circ + 2a)$
• $\sin(-2a) = -\sin 2a$

Шаг 7: Подставим обратно:

$$\frac{\sin 2a}{2} — \frac{-\sin(30^\circ + 2a)}{2} — \frac{\sin(30^\circ + 2a) — \sin 2a}{2}$$

Шаг 8: Раскроем все знаки:

$$= \frac{\sin 2a}{2} + \frac{\sin(30^\circ + 2a)}{2} — \frac{\sin(30^\circ + 2a)}{2} + \frac{\sin 2a}{2}$$

Шаг 9: Сокращаем одинаковые слагаемые:

$+ \frac{\sin(30^\circ + 2a)}{2} — \frac{\sin(30^\circ + 2a)}{2} = 0$

$$\frac{\sin 2a}{2} + \frac{\sin 2a}{2} = \sin 2a$$

Шаг 10: Получили:

$$\sin 2a = \sin 2a$$

Тождество доказано.