ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а)

$$\cos (x+\frac{\pi }{3})\cdot \cos (x-\frac{\pi }{3})-0,25=0;$$

б)

$$\sin (x+\frac{\pi }{3})\cdot \cos (x-\frac{\pi }{6})=1$$

Решить уравнение:

а)

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) — 0,25 = 0;$$ $$\frac{\cos\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x — \frac{\pi}{3}\right)\right) + \cos\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — \left(x — \frac{\pi}{3}\right)\right)}{2} = 0,25;$$ $$\cos 2x + \cos \frac{2\pi}{3} = 0,5;$$ $$\cos 2x + \cos\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2};$$ $$\cos 2x — \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2};$$ $$\cos 2x — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$$ $$\cos 2x = 1;$$ $$2x = 2\pi n;$$ $$x = \pi n;$$

Ответ: $\pi n$

б)

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 1;$$ $$\frac{\sin\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x — \frac{\pi}{6}\right)\right) + \sin\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) — \left(x — \frac{\pi}{6}\right)\right)}{2} = 1;$$ $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin \frac{\pi}{2} = 2;$$ $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 2;$$ $$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1;$$ $$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi n$

а)

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) — 0{,}25 = 0$$

Шаг 1. Переносим $0{,}25$ вправо:

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = 0{,}25$$

Шаг 2. Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A — B) + \cos(A + B) \right]$$

Подставим:

• $A = x + \frac{\pi}{3}$
• $B = x — \frac{\pi}{3}$

Шаг 3. Подставляем в формулу:

$$\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \left[ \cos\left((x + \frac{\pi}{3}) — (x — \frac{\pi}{3})\right) + \cos\left((x + \frac{\pi}{3}) + (x — \frac{\pi}{3})\right) \right]$$

Шаг 4. Считаем выражения в скобках:

• $(x + \frac{\pi}{3}) — (x — \frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}$
• $(x + \frac{\pi}{3}) + (x — \frac{\pi}{3}) = 2x$

Шаг 5. Получаем:

$$\frac{1}{2} \left[ \cos \frac{2\pi}{3} + \cos 2x \right] = 0{,}25$$

Шаг 6. Домножим обе части на 2:

$$\cos \frac{2\pi}{3} + \cos 2x = 0{,}5$$

Шаг 7. Подставим значение $\cos \frac{2\pi}{3}$

$$\frac{2\pi}{3} = \pi — \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = -\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$$ $$-\frac{1}{2} + \cos 2x = 0{,}5$$

Шаг 8. Решим уравнение:

$$\cos 2x = 0{,}5 + \frac{1}{2} = 1$$

Шаг 9. Найдём решения:

$$\cos 2x = 1 \Rightarrow 2x = 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б)

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 1$$

Шаг 1. Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left[ \sin(A + B) + \sin(A — B) \right]$$

Где:

• $A = x + \frac{\pi}{3}$
• $B = x — \frac{\pi}{6}$

Шаг 2. Применим формулу:

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \left[ \sin\left((x + \frac{\pi}{3}) + (x — \frac{\pi}{6})\right) + \sin\left((x + \frac{\pi}{3}) — (x — \frac{\pi}{6})\right) \right]$$

Шаг 3. Вычислим аргументы:

• $(x + \frac{\pi}{3}) + (x — \frac{\pi}{6}) = 2x + \frac{\pi}{6}$
• $(x + \frac{\pi}{3}) — (x — \frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{2}$

Шаг 4. Получим:

$$\frac{1}{2} \left[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right] = 1$$

Шаг 5. Заменим $\sin \frac{\pi}{2} = 1$:

$$\frac{1}{2} \left[ \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 \right] = 1$$

Шаг 6. Умножим обе части на 2:

$$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 2 \Rightarrow \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$$

Шаг 7. Решим уравнение:

$$\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \Rightarrow 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 8. Выразим $2x$:

$$2x = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 9. Разделим на 2:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}}}$$