ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Преобразуйте произведение в сумму:

а)

$$\sin {10}^{\circ }\cdot \cos 8^{\circ }\cdot \cos 6^{\circ }$$

б)

$$4\sin {25}^{\circ }\cdot \cos {15}^{\circ }\cdot \sin 5^{\circ }$$

Преобразовать произведение в сумму:

а)

$$\sin 10^\circ \cdot \cos 8^\circ \cdot \cos 6^\circ = \sin 10^\circ \cdot (\cos 8^\circ \cdot \cos 6^\circ) =$$ $$= \sin 10^\circ \cdot \dfrac{\cos 14^\circ + \cos 2^\circ}{2} = \dfrac{1}{2}(\sin 10^\circ \cdot \cos 14^\circ + \sin 10^\circ \cdot \cos 2^\circ) =$$ $$= \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{\sin 24^\circ + \sin(-4^\circ)}{2} + \dfrac{\sin 12^\circ + \sin 8^\circ}{2} \right) =$$ $$= \dfrac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ — \sin 4^\circ);$$

б)

$$4 \sin 25^\circ \cdot \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ = 4 \sin 25^\circ \cdot (\sin 5^\circ \cdot \cos 15^\circ) =$$ $$= 4 \sin 25^\circ \cdot \dfrac{\sin 20^\circ + \sin(-10^\circ)}{2} = 2(\sin 25^\circ \cdot \sin 20^\circ — \sin 25^\circ \cdot \sin 10^\circ) =$$ $$= 2 \cdot \left( \dfrac{\cos 5^\circ — \cos 45^\circ}{2} — \dfrac{\cos 15^\circ — \cos 35^\circ}{2} \right) =$$ $$=\cos {35}^{\circ }-\cos {45}^{\circ }-\cos {15}^{\circ }+\cos 5^{\circ }$$

а)

$$\sin 10^\circ \cdot \cos 8^\circ \cdot \cos 6^\circ$$

Шаг 1: Группируем скобки

$$= \sin 10^\circ \cdot (\cos 8^\circ \cdot \cos 6^\circ)$$

Шаг 2: Используем формулу для произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A — B)]$$

Здесь:
$A = 8^\circ$, $B = 6^\circ$

$$\cos 8^\circ \cdot \cos 6^\circ = \dfrac{1}{2}[\cos(8^\circ + 6^\circ) + \cos(8^\circ — 6^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\cos 14^\circ + \cos 2^\circ]$$

Шаг 3: Подставим это в выражение:

$$\sin 10^\circ \cdot \dfrac{\cos 14^\circ + \cos 2^\circ}{2}$$

Шаг 4: Вынесем $\dfrac{1}{2}$ за скобки:

$$= \dfrac{1}{2} \left( \sin 10^\circ \cdot \cos 14^\circ + \sin 10^\circ \cdot \cos 2^\circ \right)$$

Шаг 5: Используем формулу произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A — B)]$$

Первая часть: $\sin 10^\circ \cdot \cos 14^\circ$

$$= \dfrac{1}{2}[\sin(10^\circ + 14^\circ) + \sin(10^\circ — 14^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\sin 24^\circ + \sin(-4^\circ)]$$

Вторая часть: $\sin 10^\circ \cdot \cos 2^\circ$

$$= \dfrac{1}{2}[\sin(10^\circ + 2^\circ) + \sin(10^\circ — 2^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\sin 12^\circ + \sin 8^\circ]$$

Шаг 6: Подставим обе части обратно:

$$= \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{\sin 24^\circ + \sin(-4^\circ)}{2} + \dfrac{\sin 12^\circ + \sin 8^\circ}{2} \right)$$

Шаг 7: Упростим знак:

Поскольку $\sin(-x) = -\sin x$, то:

$$\sin(-4^\circ) = -\sin 4^\circ$$

Шаг 8: Получаем:

$$= \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{\sin 24^\circ — \sin 4^\circ}{2} + \dfrac{\sin 12^\circ + \sin 8^\circ}{2} \right)$$

Шаг 9: Приводим всё к общему знаменателю:

$$= \dfrac{1}{4}(\sin 24^\circ — \sin 4^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ)$$

Шаг 10: Перепишем в удобном порядке:

$$= \dfrac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ — \sin 4^\circ)$$

Ответ:

$$\sin 10^\circ \cdot \cos 8^\circ \cdot \cos 6^\circ = \dfrac{1}{4}(\sin 24^\circ + \sin 12^\circ + \sin 8^\circ — \sin 4^\circ)$$

б)

$$4 \sin 25^\circ \cdot \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

Шаг 1: Группируем:

$$= 4 \sin 25^\circ \cdot (\sin 5^\circ \cdot \cos 15^\circ)$$

Шаг 2: Используем формулу:

$$\sin A \cdot \cos B = \dfrac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A — B)]$$

Здесь:
$A = 5^\circ$, $B = 15^\circ$

$$\sin 5^\circ \cdot \cos 15^\circ = \dfrac{1}{2}[\sin(5^\circ + 15^\circ) + \sin(5^\circ — 15^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\sin 20^\circ + \sin(-10^\circ)]$$

Шаг 3: Подставим в исходное выражение:

$$= 4 \sin 25^\circ \cdot \dfrac{\sin 20^\circ + \sin(-10^\circ)}{2}$$

Шаг 4: Упростим:

$$= 2 \cdot \sin 25^\circ \cdot (\sin 20^\circ + \sin(-10^\circ))$$

Шаг 5: Используем нечётность синуса:

$$\sin(-10^\circ) = -\sin 10^\circ \Rightarrow \sin 20^\circ + \sin(-10^\circ) = \sin 20^\circ — \sin 10^\circ$$

$$= 2(\sin 25^\circ \cdot \sin 20^\circ — \sin 25^\circ \cdot \sin 10^\circ)$$

Шаг 6: Используем формулу:

$$\sin A \cdot \sin B = \dfrac{1}{2}[\cos(A — B) — \cos(A + B)]$$

Первая часть: $\sin 25^\circ \cdot \sin 20^\circ$

$$= \dfrac{1}{2}[\cos(25^\circ — 20^\circ) — \cos(25^\circ + 20^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\cos 5^\circ — \cos 45^\circ]$$

Вторая часть: $\sin 25^\circ \cdot \sin 10^\circ$

$$= \dfrac{1}{2}[\cos(25^\circ — 10^\circ) — \cos(25^\circ + 10^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\cos 15^\circ — \cos 35^\circ]$$

Шаг 7: Подставим обратно:

$$2 \cdot \left( \dfrac{\cos 5^\circ — \cos 45^\circ}{2} — \dfrac{\cos 15^\circ — \cos 35^\circ}{2} \right)$$

Шаг 8: Вынесем общий множитель $\dfrac{1}{2}$:

$$= 2 \cdot \dfrac{1}{2} \left[ (\cos 5^\circ — \cos 45^\circ) — (\cos 15^\circ — \cos 35^\circ) \right]$$

Шаг 9: Упростим:

$$= (\cos 5^\circ — \cos 45^\circ — \cos 15^\circ + \cos 35^\circ)$$

Шаг 10: Перепишем в стандартном порядке:

$$= \cos 35^\circ — \cos 45^\circ — \cos 15^\circ + \cos 5^\circ$$

Ответ:

$$4 \sin 25^\circ \cdot \cos 15^\circ \cdot \sin 5^\circ = \cos 35^\circ — \cos 45^\circ — \cos 15^\circ + \cos 5^\circ$$