ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$${\cos }^2{3}^{\circ }+{\cos }^2{1}^{\circ }-\cos 4^{\circ }\cdot \cos 2^{\circ }$$

б)

$${\sin }^2{10}^{\circ }+\cos {50}^{\circ }\cdot \cos {70}^{\circ }$$

Вычислить значение:

а)

$$\cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ — \cos 4^\circ \cdot \cos 2^\circ =$$ $$= \frac{1 + \cos 6^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 2^\circ}{2} — \frac{\cos(4^\circ + 2^\circ) + \cos(4^\circ — 2^\circ)}{2} =$$ $$= \frac{2 + (\cos 6^\circ + \cos 2^\circ) — (\cos 6^\circ + \cos 2^\circ)}{2} = \frac{2}{2} = 1;$$

Ответ:

$$1$$

б)

$$\sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ =$$ $$= \frac{1 — \cos 20^\circ}{2} + \frac{\cos(70^\circ + 50^\circ) + \cos(70^\circ — 50^\circ)}{2} =$$ $$= \frac{1 — \cos 20^\circ + \cos 120^\circ + \cos 20^\circ}{2} = \frac{1 + \cos(180^\circ — 60^\circ)}{2} =$$ $$= \frac{1}{2}(1 — \cos 60^\circ) = \frac{1}{2}\left(1 — \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4};$$

Ответ:

$$\frac{1}{4}$$

а)

$$\cos^2 3^\circ + \cos^2 1^\circ — \cos 4^\circ \cdot \cos 2^\circ$$

Шаг 1: Преобразуем квадраты косинусов по формуле:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Применим формулу к каждому слагаемому:

• $\cos^2 3^\circ = \dfrac{1 + \cos 6^\circ}{2}$
• $\cos^2 1^\circ = \dfrac{1 + \cos 2^\circ}{2}$

Шаг 2: Преобразуем произведение косинусов по формуле:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A — B)]$$

• $\cos 4^\circ \cdot \cos 2^\circ = \dfrac{1}{2}[\cos(4^\circ + 2^\circ) + \cos(4^\circ — 2^\circ)] = \dfrac{1}{2}[\cos 6^\circ + \cos 2^\circ]$

Шаг 3: Подставим всё в выражение:

$$= \frac{1 + \cos 6^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 2^\circ}{2} — \frac{\cos 6^\circ + \cos 2^\circ}{2}$$

Шаг 4: Объединим все три дроби по общему знаменателю 2:

$$= \frac{(1 + \cos 6^\circ) + (1 + \cos 2^\circ) — (\cos 6^\circ + \cos 2^\circ)}{2}$$

Шаг 5: Раскроем скобки:

$$= \frac{1 + \cos 6^\circ + 1 + \cos 2^\circ — \cos 6^\circ — \cos 2^\circ}{2}$$

Шаг 6: Упростим:

• $+\cos 6^\circ — \cos 6^\circ = 0$
• $+\cos 2^\circ — \cos 2^\circ = 0$
• $1 + 1 = 2$

Итак:

$$= \frac{2}{2} = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

б)

$$\sin^2 10^\circ + \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ$$

Шаг 1: Преобразуем квадрат синуса по формуле:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$ $$\sin^2 10^\circ = \frac{1 — \cos 20^\circ}{2}$$

Шаг 2: Преобразуем произведение косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A — B)]$$ $$\cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{1}{2}[\cos(50^\circ + 70^\circ) + \cos(50^\circ — 70^\circ)] = \frac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos(-20^\circ)]$$

Шаг 3: Используем чётность косинуса:

$$\cos(-x) = \cos x \Rightarrow \cos(-20^\circ) = \cos 20^\circ$$ $$\Rightarrow \cos 50^\circ \cdot \cos 70^\circ = \frac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos 20^\circ]$$

Шаг 4: Соберём всё вместе:

$$\frac{1 — \cos 20^\circ}{2} + \frac{\cos 120^\circ + \cos 20^\circ}{2}$$

Шаг 5: Объединим под одним знаменателем:

$$= \frac{(1 — \cos 20^\circ) + (\cos 120^\circ + \cos 20^\circ)}{2}$$

Шаг 6: Упростим:

• $-\cos 20^\circ + \cos 20^\circ = 0$
• Осталось: $1 + \cos 120^\circ$

$$= \frac{1 + \cos 120^\circ}{2}$$

Шаг 7: Упростим косинус:

$$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ — 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$$

Шаг 8: Подставим:

$$= \frac{1 + (-\frac{1}{2})}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{4}}}$$