ГДЗ 10-11 Класс Номер 23.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\frac{1}{2\sin {10}^{\circ }}-2\sin {70}^{\circ }$$

б)

$$\frac{\mathrm{tg}{60}^{\circ }}{\sin {40}^{\circ }}+4\cos {100}^{\circ }$$

Вычислить значение:

а)

$$\frac{1}{2 \sin 10^\circ} — 2 \sin 70^\circ = \frac{1 — 4 \sin 70^\circ \cdot \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} =$$ $$= \frac{1 — 4 \cdot \frac{1}{2}(\cos(70^\circ — 10^\circ) — \cos(70^\circ + 10^\circ))}{2 \sin 10^\circ} =$$ $$= \frac{1 — 2(\cos 60^\circ — \cos 80^\circ)}{2 \sin 10^\circ} = \frac{1 — 2 \cos 60^\circ + 2 \cos(90^\circ — 10^\circ)}{2 \sin 10^\circ} =$$ $$= \frac{1 — 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = \frac{2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = 1;$$

Ответ:

$$1$$

б)

$$\frac{\tg 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ = \frac{\tg 60^\circ + 4 \sin 40^\circ \cdot \cos 100^\circ}{\sin 40^\circ} =$$ $$= \frac{\sqrt{3} + 4 \cdot \frac{1}{2}(\sin(40^\circ + 100^\circ) + \sin(40^\circ — 100^\circ))}{\sin 40^\circ} =$$ $$= \frac{\sqrt{3} + 2(\sin 140^\circ + \sin(-60^\circ))}{\sin 40^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 2 \sin(180^\circ — 40^\circ) — 2 \sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} =$$ $$= \frac{\sqrt{3} + 2 \sin 40^\circ — 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 40^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 2;$$

Ответ:

$$2$$

а)

$$\frac{1}{2 \sin 10^\circ} — 2 \sin 70^\circ$$

Шаг 1: Приведём к общему знаменателю

$$= \frac{1 — 4 \sin 70^\circ \cdot \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ}$$

Общий знаменатель — $2 \sin 10^\circ$, числитель преобразуем отдельно.

Шаг 2: Используем формулу для произведения синусов:

$$\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A — B) — \cos(A + B)]$$

В нашем случае:
$A = 70^\circ$, $B = 10^\circ$

$$\sin 70^\circ \cdot \sin 10^\circ = \frac{1}{2}[\cos(60^\circ) — \cos(80^\circ)]$$

Шаг 3: Подставим в числитель:

$$4 \cdot \sin 70^\circ \cdot \sin 10^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2}[\cos 60^\circ — \cos 80^\circ] = 2(\cos 60^\circ — \cos 80^\circ)$$

Шаг 4: Подставим в исходное выражение:

$$\frac{1 — 2(\cos 60^\circ — \cos 80^\circ)}{2 \sin 10^\circ}$$

Шаг 5: Раскроем скобки в числителе:

$$= \frac{1 — 2 \cos 60^\circ + 2 \cos 80^\circ}{2 \sin 10^\circ}$$

Шаг 6: Заменим $\cos 80^\circ$ на $\sin 10^\circ$

Так как:

$$\cos(90^\circ — x) = \sin x \Rightarrow \cos 80^\circ = \sin 10^\circ$$

Также:

$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$

Шаг 7: Подставим значения:

$$= \frac{1 — 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = \frac{1 — 1 + 2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ}$$ $$= \frac{2 \sin 10^\circ}{2 \sin 10^\circ} = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

б)

$$\frac{\tg 60^\circ}{\sin 40^\circ} + 4 \cos 100^\circ$$

Шаг 1: Приведём к общему знаменателю

$$= \frac{\tg 60^\circ + 4 \sin 40^\circ \cdot \cos 100^\circ}{\sin 40^\circ}$$

Шаг 2: Формула для произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A — B)]$$

Здесь:
$A = 40^\circ$, $B = 100^\circ$

$$\sin 40^\circ \cdot \cos 100^\circ = \frac{1}{2}[\sin(140^\circ) + \sin(-60^\circ)]$$

Шаг 3: Упростим:

$$\sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ \quad \text{и} \quad \sin 140^\circ = \sin(180^\circ — 40^\circ) = \sin 40^\circ$$

Шаг 4: Вычислим произведение:

$$4 \cdot \sin 40^\circ \cdot \cos 100^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2}(\sin 140^\circ + \sin(-60^\circ)) = 2(\sin 140^\circ — \sin 60^\circ)$$ $$= 2(\sin 40^\circ — \sin 60^\circ)$$

Шаг 5: Подставим обратно:

$$= \frac{\tg 60^\circ + 2(\sin 40^\circ — \sin 60^\circ)}{\sin 40^\circ}$$

Шаг 6: Подставим значения:

• $\tg 60^\circ = \sqrt{3}$
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$$= \frac{\sqrt{3} + 2 \sin 40^\circ — 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 40^\circ}$$ $$= \frac{\sqrt{3} + 2 \sin 40^\circ — \sqrt{3}}{\sin 40^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ}$$

$$= 2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2}}$$