ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Последовательность задана формулой

$a_n=(2n-1)(3n+2)$

Является ли членом последовательности число:

а) 0;

б) 24;

в) 153;

г) -2?

Последовательность задана формулой:
$a_n = (2n — 1)(3n + 2);$

а) Номер члена, равного числу 0:

$$(2n — 1)(3n + 2) = 0;$$ $$n_1 = \frac{1}{2} \notin \mathbb{N}; \quad n_2 = -\frac{2}{3} \notin \mathbb{N};$$

Ответ: нет.

б) Номер члена, равного числу 24:

$$(2n — 1)(3n + 2) = 24;$$ $$6n^2 + 4n — 3n — 2 = 24;$$ $$6n^2 + n — 26 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 26 = 1 + 624 = 625,\ \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{-1 — 25}{2 \cdot 6} = -\frac{26}{12} \notin \mathbb{N}; \quad n_2 = \frac{-1 + 25}{2 \cdot 6} = \frac{24}{12} = 2 \in \mathbb{N};$$

Ответ: да, вторым.

в) Номер члена, равного числу 153:

$$(2n — 1)(3n + 2) = 153;$$ $$6n^2 + 4n — 3n — 2 = 153;$$ $$6n^2 + n — 155 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 155 = 1 + 3720 = 3721,\ \text{тогда:}$$ $$n_1 = \frac{-1 — 61}{2 \cdot 6} = -\frac{62}{12} \notin \mathbb{N}; \quad n_2 = \frac{-1 + 61}{2 \cdot 6} = \frac{60}{12} = 5 \in \mathbb{N};$$

Ответ: да, пятым.

г) Номер члена, равного числу $-2$:

$$(2n — 1)(3n + 2) = -2;$$ $$6n^2 + 4n — 3n — 2 = -2;$$ $$6n^2 + n = 0;$$ $$(6n + 1)n = 0;$$ $$n_1 = -\frac{1}{6} \notin \mathbb{N}; \quad n_2 = 0 \notin \mathbb{N};$$

Ответ: нет.

Последовательность задана формулой:

$$a_n = (2n — 1)(3n + 2)$$

а) Найти $n$, если $a_n = 0$

Шаг 1. Подставим значение в формулу

$$(2n — 1)(3n + 2) = 0$$

Шаг 2. Уравнение имеет вид произведения двух множителей, приравненного к нулю. Применим правило:

$$\text{Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.}$$

Разберем оба варианта:

1. $2n — 1 = 0$ → $n = \frac{1}{2}$  не принадлежит $\mathbb{N}$
2. $3n + 2 = 0$ → $n = -\frac{2}{3}$  не принадлежит $\mathbb{N}$

Вывод:

Решения существуют, но ни одно из них не является натуральным числом.

Ответ:

$$\boxed{\text{нет}}$$

б) Найти $n$, если $a_n = 24$

Шаг 1. Подставим в уравнение

$$(2n — 1)(3n + 2) = 24$$

Шаг 2. Раскроем скобки слева

$$2n \cdot 3n = 6n^2 \\ 2n \cdot 2 = 4n \\ -1 \cdot 3n = -3n \\ -1 \cdot 2 = -2$$

Соберём:

$$6n^2 + n — 2 = 24$$

Шаг 3. Переносим всё влево

$$6n^2 + n — 2 — 24 = 0 \Rightarrow 6n^2 + n — 26 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-26) = 1 + 624 = 625$$ $$\sqrt{625} = 25$$ $$n = \frac{-1 \pm 25}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 25}{12}$$

• $n_1 = \frac{-1 — 25}{12} = \frac{-26}{12} = -\frac{13}{6}$
• $n_2 = \frac{-1 + 25}{12} = \frac{24}{12} = 2$

Вывод:

Существует натуральное решение — $n = 2$

Ответ:

$$\boxed{\text{да, вторым}}$$

в) Найти $n$, если $a_n = 153$

Шаг 1. Подставим в уравнение

$$(2n — 1)(3n + 2) = 153$$

Шаг 2. Раскроем скобки

$$6n^2 + n — 2 = 153$$

Шаг 3. Приведем к стандартному виду

$$6n^2 + n — 155 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

$$D = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-155) = 1 + 3720 = 3721$$ $$\sqrt{3721} = 61$$ $$n = \frac{-1 \pm 61}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 61}{12}$$

• $n_1 = \frac{-1 — 61}{12} = \frac{-62}{12} = -\frac{31}{6}$
• $n_2 = \frac{-1 + 61}{12} = \frac{60}{12} = 5$

Вывод:

Найдено натуральное решение — $n = 5$

Ответ:

$$\boxed{\text{да, пятым}}$$

г) Найти $n$, если $a_n = -2$

Шаг 1. Подставим значение

$$(2n — 1)(3n + 2) = -2$$

Шаг 2. Раскроем скобки

$$6n^2 + n — 2 = -2$$

Шаг 3. Приведем уравнение к нормальному виду

$$6n^2 + n = 0 \Rightarrow n(6n + 1) = 0$$

Шаг 4. Найдём корни

1. $n = 0$  не натуральное число
2. $6n + 1 = 0 \Rightarrow n = -\frac{1}{6}$  не натуральное число

Вывод:

Решения есть, но не натуральные.

Ответ:

$$\boxed{\text{нет}}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\text{нет}}$
б) $\boxed{\text{да, вторым}}$
в) $\boxed{\text{да, пятым}}$
г) $\boxed{{\displaystyle \text{нет}}}$