ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $x_1 = 2$, $x_n = nx_{n-1}$;

б) $x_1 = -5$, $x_n = -0{,}5 \cdot x_{n-1}$;

в) $x_1 = -2$, $x_n = -x_{n-1}$;

г) $x_1 = 1$, $x_n = \frac{x_{n-1}}{0{,}1}$

Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:

а) $x_1 = 2$, $x_n = nx_{n-1}$;

Первые пять членов:

$$x_1 = 2;$$ $$x_2 = 2x_1 = 2 \cdot 2 = 4;$$ $$x_3 = 3x_2 = 3 \cdot 4 = 12;$$ $$x_4 = 4x_3 = 4 \cdot 12 = 48;$$ $$x_5 = 5x_4 = 5 \cdot 48 = 240;$$

Ответ: $2; 4; 12; 48; 240$

б) $x_1 = -5$, $x_n = -0{,}5 \cdot x_{n-1}$;

Первые пять членов:

$$x_1 = -5;$$ $$x_2 = -0{,}5 \cdot (-5) = \frac{5}{2} = 2{,}5;$$ $$x_3 = -0{,}5 \cdot 2{,}5 = -\frac{5}{4};$$ $$x_4 = -0{,}5 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{5}{8};$$ $$x_5 = -0{,}5 \cdot \frac{5}{8} = -\frac{5}{16};$$

Ответ: $-5; 2{,}5; -\frac{5}{4}; \frac{5}{8}; -\frac{5}{16}$

в) $x_1 = -2$, $x_n = -x_{n-1}$;

Первые пять членов:

$$x_1 = -2;$$ $$x_2 = -(-2) = 2;$$ $$x_3 = -2;$$ $$x_4 = 2;$$ $$x_5 = -2;$$

Ответ: $-2; 2; -2; 2; -2$

г) $x_1 = 1$, $x_n = \frac{x_{n-1}}{0{,}1}$;

Первые пять членов:

$$x_1 = 1;$$ $$x_2 = \frac{1}{0{,}1} = 10;$$ $$x_3 = \frac{10}{0{,}1} = 100;$$ $$x_4 = \frac{100}{0{,}1} = 1000;$$ $$x_5 = \frac{1000}{0{,}1} = 10\,000;$$

Ответ: $1; 10; 100; 1000; 10\,000$

а) $x_1 = 2$, $x_n = n \cdot x_{n-1}$

Это рекуррентная формула, в которой каждый следующий член равен произведению номера члена на предыдущий член. По сути, это аналог факториала, умноженного на начальное значение $x_1$.

Найдем первые пять членов:

1. $x_1 = 2$ – задано.
2. $x_2 = 2 \cdot x_1 = 2 \cdot 2 = 4$
3. $x_3 = 3 \cdot x_2 = 3 \cdot 4 = 12$
4. $x_4 = 4 \cdot x_3 = 4 \cdot 12 = 48$
5. $x_5 = 5 \cdot x_4 = 5 \cdot 48 = 240$

Ответ: 2; 4; 12; 48; 240

б) $x_1 = -5$, $x_n = -0{,}5 \cdot x_{n-1}$

Это геометрическая прогрессия, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на $-0{,}5$. Знак чередуется, а значение уменьшается по модулю.

Найдем первые пять членов:

1. $x_1 = -5$ – начальный член.
2. $x_2 = -0{,}5 \cdot x_1 = -0{,}5 \cdot (-5) = 2{,}5$
3. $x_3 = -0{,}5 \cdot x_2 = -0{,}5 \cdot 2{,}5 = -1{,}25 = -\frac{5}{4}$
4. $x_4 = -0{,}5 \cdot x_3 = -0{,}5 \cdot (-1{,}25) = 0{,}625 = \frac{5}{8}$
5. $x_5 = -0{,}5 \cdot x_4 = -0{,}5 \cdot 0{,}625 = -0{,}3125 = -\frac{5}{16}$

Ответ: −5; 2{,}5; −5/4; 5/8; −5/16

в) $x_1 = -2$, $x_n = -x_{n-1}$

Здесь каждый член — это просто противоположное значение предыдущего. Последовательность чередуется между двумя числами.

Найдем первые пять членов:

1. $x_1 = -2$
2. $x_2 = -x_1 = -(-2) = 2$
3. $x_3 = -x_2 = -2$
4. $x_4 = -x_3 = -(-2) = 2$
5. $x_5 = -x_4 = -2$

Ответ: −2; 2; −2; 2; −2

г) $x_1 = 1$, $x_n = \frac{x_{n-1}}{0{,}1}$

Деление на $0{,}1$ эквивалентно умножению на 10. Значит, каждый следующий член в 10 раз больше предыдущего.

Найдем первые пять членов:

1. $x_1 = 1$
2. $x_2 = \frac{1}{0{,}1} = 10$
3. $x_3 = \frac{10}{0{,}1} = 100$
4. $x_4 = \frac{100}{0{,}1} = 1000$
5. $x_5 = \frac{1000}{0{,}1} = 10\,000$

Ответ: 1; 10; 100; 1000; 10 000