ГДЗ 10-11 Класс Номер 24.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Какие из заданных последовательностей являются ограниченными?

а) $\cos 1;\ \cos 2;\ \cos 3;\ \ldots;\ \cos n;\ \ldots$;

б) $\frac{\sin 1}{1};\ \frac{\sin 2}{2};\ \frac{\sin 3}{3};\ \ldots;\ \frac{(-1)^{n-1} \cdot \sin n}{n};\ \ldots$;

в) $\tg \frac{\pi}{4};\ \tg \frac{3\pi}{4};\ \tg \frac{5\pi}{4};\ \ldots;\ \tg \frac{\pi}{4}(2n — 1);\ \ldots$;

г) $\ctg \frac{\pi}{2};\ \ctg \frac{\pi}{3};\ \ctg \frac{\pi}{4};\ \ldots;\ \ctg \frac{\pi}{n+1};\ \ldots$

Какие из заданных последовательностей являются ограниченными:

а) $\cos 1;\ \cos 2;\ \cos 3;\ \ldots;\ \cos n;\ \ldots$;

Если $a_n = \cos n$, тогда $a_n \in [-1;\ 1]$;

Ответ: ограничена.

б) $\frac{\sin 1}{1};\ \frac{\sin 2}{2};\ \frac{\sin 3}{3};\ \ldots;\ \frac{(-1)^{n-1} \cdot \sin n}{n};\ \ldots$;

Если $a_n = (-1)^{n-1}$, тогда $a_n \in \{-1;\ 1\}$;

Если $b_n = \sin n$, тогда $b_n \in [-1;\ 1]$;

Если $c_n = \frac{1}{n}$, тогда $c_n \in (0;\ 1]$;

Если $d_n = \frac{(-1)^{n-1} \cdot \sin n}{n} = a_n b_n c_n$, тогда $d_n \in [-1;\ 1]$;

Ответ: ограничена.

в) $\tg \frac{\pi}{4};\ \tg \frac{3\pi}{4};\ \tg \frac{5\pi}{4};\ \ldots;\ \tg \frac{\pi}{4}(2n — 1);\ \ldots$;

Если $a_n = \frac{\pi}{4}(2n — 1)$, тогда:

$a_n = \tg \left( \frac{2\pi n}{4} — \frac{\pi}{4} \right) = \tg \left( \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$;

$a_{2k} = \tg \left( \frac{\pi \cdot 2k}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = \tg \left( \pi k — \frac{\pi}{4} \right) = -\tg \frac{\pi}{4} = -1$;

$a_{2k+1} = \tg \left( \frac{\pi (2k + 1)}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = \tg \left( \frac{2\pi k}{2} + \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = \tg \left( \pi k + \frac{\pi}{4} \right) = \tg \frac{\pi}{4} = 1$;

$a_n \in \{-1;\ 1\}$;

Ответ: ограничена.

г) $\ctg \frac{\pi}{2};\ \ctg \frac{\pi}{3};\ \ctg \frac{\pi}{4};\ \ldots;\ \ctg \frac{\pi}{n+1};\ \ldots$;

Если $a_n = \frac{\pi}{n+1}$, тогда $a_n \in \left(0;\ \frac{\pi}{2}\right]$;

Функция $y = \ctg x$ на интервале $\left(0;\ \frac{\pi}{2}\right]$:

$E(y) = [0;\ +\infty)$;

Ответ: не ограничена.

а)

Последовательность:

$$a_n = \cos n$$

1. Анализ типа последовательности:

Это последовательность значений косинуса от натуральных чисел в радианах.

2. Свойства функции $\cos x$:

• Функция $\cos x$ принимает значения в диапазоне:

  $$\cos x \in [-1; 1]$$

• Это справедливо для любого $x \in \mathbb{R}$, в том числе для $x = n \in \mathbb{N}$

3. Следствие для последовательности:

$$a_n = \cos n \in [-1; 1] \quad \text{для любого } n$$

Вывод: Последовательность ограничена.

б)

Последовательность:

$$a_n = \frac{(-1)^{n-1} \cdot \sin n}{n}$$

1. Распишем по частям:

• $(-1)^{n-1}$: чередует знак (значения: $-1, 1, -1, 1, \ldots$)
• $\sin n \in [-1; 1]$: поскольку синус ограничен
• $\frac{1}{n}$: убывающая последовательность, стремится к нулю

2. Оценим весь член:

$$\left| a_n \right| = \left| \frac{(-1)^{n-1} \cdot \sin n}{n} \right| = \frac{|\sin n|}{n} \leq \frac{1}{n}$$

3. Следствие:

$$|a_n| \leq \frac{1}{n} \leq 1 \Rightarrow a_n \in [-1; 1]$$

Вывод: Последовательность ограничена.

в)

Последовательность:

$$a_n = \tg\left( \frac{\pi}{4}(2n — 1) \right)$$

1. Раскроем выражение:

$$a_n = \tg\left( \frac{\pi}{4}(2n — 1) \right) = \tg\left( \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4} \right)$$

2. Проанализируем:

Проверим значения при первых $n$:

• $n = 1$: $\tg(\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$
• $n = 2$: $\tg(\pi — \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{3\pi}{4}) = -1$
• $n = 3$: $\tg(\frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{5\pi}{4}) = 1$
• и т.д.

Получаем:

$$a_n \in \{1, -1\}$$

Вывод: Последовательность ограничена (в пределах от -1 до 1).

г)

Последовательность:

$$a_n = \ctg \left( \frac{\pi}{n + 1} \right)$$

1. Область определения:

$$n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{\pi}{n+1} \in \left(0; \frac{\pi}{2} \right]$$

2. Поведение $\ctg x$ на интервале $(0; \frac{\pi}{2}]$:

• $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$
• На интервале $x \in (0; \frac{\pi}{2}]$, синус положителен и стремится к 0 при $x \to 0^+$
• Значит, $\ctg x \to +\infty$ при $x \to 0$

3. При $n \to \infty$:

• $\frac{\pi}{n+1} \to 0$
• $\ctg \left( \frac{\pi}{n+1} \right) \to +\infty$

Вывод: Последовательность не ограничена.